Equazione diff. secondo ordine non omogenea
Ciao a tutti, mi aiutereste a svolgere questo esercizio ?
Trovare la soluzione generale, al variare del parametro $lambda$, dell'equazione:
$ x''+2x'+x=e^(lambdat) $
Procedo così:
$ P(lambda)=lambda^2+2lambda+1 $ che mi da radice reale doppia $-1$
la soluzione generale dell'equazione omogenea associata è quindi $ x(t)=C1e^-t+t*C2e^-t $
Una soluzione particolare del sistema la scrivo come $ x(t)=c1(t)e^-t+t*c2(t)e^-t $
con $c1(t),c2(t)$ ottenuti dal sistema
$ | ( e^-t , t*e^-t ),( -e^-t , e^-t-t*e^-t ) | *| ( c1' ), (c2') | = | ( 0 ),( e^(lambdat) ) | $
se aggiungo la secondo equazione alla prima ottengo
$ | ( e^-t , t*e^-t ),( 0 , e^-t ) | *| ( c1' ), (c2') | = | ( 0 ),( e^(lambdat) ) | $
dalla seconda equazione ricavo $ c2'=e^((lambda+1)t) $ che integrato da $ C2=e^((lambda+1)t)/(lambda+1) $
dato $c2'$ dalla prima equazione ricavo $ c1'= -t(lambda+1)^t/(lambda+1) $
e qua mi blocco. $c1'$ non so come integrarlo...consigli ?
Trovare la soluzione generale, al variare del parametro $lambda$, dell'equazione:
$ x''+2x'+x=e^(lambdat) $
Procedo così:
$ P(lambda)=lambda^2+2lambda+1 $ che mi da radice reale doppia $-1$
la soluzione generale dell'equazione omogenea associata è quindi $ x(t)=C1e^-t+t*C2e^-t $
Una soluzione particolare del sistema la scrivo come $ x(t)=c1(t)e^-t+t*c2(t)e^-t $
con $c1(t),c2(t)$ ottenuti dal sistema
$ | ( e^-t , t*e^-t ),( -e^-t , e^-t-t*e^-t ) | *| ( c1' ), (c2') | = | ( 0 ),( e^(lambdat) ) | $
se aggiungo la secondo equazione alla prima ottengo
$ | ( e^-t , t*e^-t ),( 0 , e^-t ) | *| ( c1' ), (c2') | = | ( 0 ),( e^(lambdat) ) | $
dalla seconda equazione ricavo $ c2'=e^((lambda+1)t) $ che integrato da $ C2=e^((lambda+1)t)/(lambda+1) $
dato $c2'$ dalla prima equazione ricavo $ c1'= -t(lambda+1)^t/(lambda+1) $
e qua mi blocco. $c1'$ non so come integrarlo...consigli ?
Risposte
Ciao Sheldor
Ok
Non capisco: prima $c_1$ e $c_2$ erano costanti, ora perché le tratti come due funzioni dipendenti da $t$?
Non vorrei sbagliarmi ma credo che la soluzione particolare puoi ricavarla imponendo semplicemente
da cui
ossia
ricavando così il $lambda$ (e in seguito la soluzione particolare) che soddisfano la consegna.
"Sheldor":
la soluzione generale dell'equazione omogenea associata è quindi $ x(t)=C1e^-t+t*C2e^-t $
Ok
"Sheldor":
Una soluzione particolare del sistema la scrivo come $ x(t)=c1(t)e^-t+t*c2(t)e^-t $ [...]
Non capisco: prima $c_1$ e $c_2$ erano costanti, ora perché le tratti come due funzioni dipendenti da $t$?
Non vorrei sbagliarmi ma credo che la soluzione particolare puoi ricavarla imponendo semplicemente
$x_p=ae^(lambda t)$
$=>x_p'=a lambda e^(lambda t)$
$=>x_p''=a lambda^2 e^(lambda t)$
da cui
$a lambda^2 e^(lambda t)+2a lambda e^(lambda t)+ae^(lambda t)=e^(lambda t)$
ossia
$a lambda^2+2a lambda+a=1$
ricavando così il $lambda$ (e in seguito la soluzione particolare) che soddisfano la consegna.
"Brancaleone":
[quote="Sheldor"]
Una soluzione particolare del sistema la scrivo come $ x(t)=c1(t)e^-t+t*c2(t)e^-t $ [...]
Non capisco: prima $c_1$ e $c_2$ erano costanti, ora perché le tratti come due funzioni dipendenti da $t$?
[/quote]
Perché negli esercizi fatti in aula ho sempre usato il metodo di variazione delle costanti, e quindi nello svolgere l'esercizio cerco una soluzione particolare nella forma:
$ x(t)=c1(t)x1(t)+c2(t)x2(t) $
quindi $ (x1(t),x2(t)) $ formano il sistema di soluzioni (che avevo svolto) per l'equazione omogenea associata.
Dal sistema mi ricavo $c1',c2'$, li integro ottenendo $C1,C2$, li sostituisco nell'equazione non omogenea e finisco l'esercizio.
Se può servire la soluzione è:
Anche io non credo che l'esercizio richieda gli integrali generali di $ c_1 $ e $ c_2 $. Secondo me per soluzione generale intende proprio quella in cui si lasciano le due costanti generiche...
D'altronde la difficoltà dell'esercizio sta nella variazione del $ lambda $, quando dopo l'omogenea ti dedichi alla completa...
P.s. Tra l'altro nella soluzione le costanti rimangono implicite, dunque inutile complicarsi la vita!
D'altronde la difficoltà dell'esercizio sta nella variazione del $ lambda $, quando dopo l'omogenea ti dedichi alla completa...
P.s. Tra l'altro nella soluzione le costanti rimangono implicite, dunque inutile complicarsi la vita!
"Sheldor":
$ c2'=e^((lambda+1)t) $ che integrato da $ C2=e^((lambda+1)t)/(lambda+1) $
dato $c2'$ dalla prima equazione ricavo $ c1'= -t(lambda+1)^t/(lambda+1) $
e qua mi blocco. $c1'$ non so come integrarlo...consigli ?
Integra per parti.
E se invece, partendo da $c2'=e^((lambda+1)t)$...
con $lambda=-1$ ho $c2'=1$ e quindi $c2=t$.
Sapendo $c2'=1$ ricavo $c1'=-t$ e quindi $c2=-t^2/2$
La soluzione particolare diventa quindi $x(t)=-t^2/2e^-t+t^2e^-t=t^2/2e^-t$
e infine la soluzione generale dell'equazione non omogenea è $x(t)=t^2/2e^-t+C1e^-t+t*C2e^-t$
no ?
con $lambda=-1$ ho $c2'=1$ e quindi $c2=t$.
Sapendo $c2'=1$ ricavo $c1'=-t$ e quindi $c2=-t^2/2$
La soluzione particolare diventa quindi $x(t)=-t^2/2e^-t+t^2e^-t=t^2/2e^-t$
e infine la soluzione generale dell'equazione non omogenea è $x(t)=t^2/2e^-t+C1e^-t+t*C2e^-t$
no ?
Vabbè, ma questo vale solo per \(\lambda=-1\). E per gli altri valori di \(\lambda\)?
"dissonance":
Vabbè, ma questo vale solo per \(\lambda=-1\). E per gli altri valori di \(\lambda\)?
Per gli altri valori di $lambda$ devo trovare un'altra soluzione particolare, ad esempio integrando per parti come hai detto tu. Giusto ?
E comunque avevo sbagliato a calcolare $c1'$...il risultato giusto è $c1'= -te^((lambda+1)t)$ e non $c1'= -te^((lambda+1)t)/(lambda+1)$
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