Equazione diff secondo ordine a coeff costanti non omogenea
Salve a tutti,
tra le prove d'esame di una maturità tecnica ad indirizzo informatico (di quasi mezzo secolo fa)
c'era questo quesito:
Determinare l'integrale generale dell'equazione differenziale:
$ y^{\'\'}+3y^{\prime}+2y=e^(-x) $
Si dimostri che $ y(x)=e^(-x)(x-1)$ è un integrale particolare della funzione data.
Se ho ben capito, riguardo il secondo punto, basta semplicemente fare le opportune derivate ed inserirle nell'equazione di partenza provando l'asserto. E' troppo immediato, oppure sono totalmente fuoristrada io?
Un saluto ed un grazie anticipato
tra le prove d'esame di una maturità tecnica ad indirizzo informatico (di quasi mezzo secolo fa)
c'era questo quesito:
Determinare l'integrale generale dell'equazione differenziale:
$ y^{\'\'}+3y^{\prime}+2y=e^(-x) $
Si dimostri che $ y(x)=e^(-x)(x-1)$ è un integrale particolare della funzione data.
Se ho ben capito, riguardo il secondo punto, basta semplicemente fare le opportune derivate ed inserirle nell'equazione di partenza provando l'asserto. E' troppo immediato, oppure sono totalmente fuoristrada io?
Un saluto ed un grazie anticipato
Risposte
Ciao Gandalf73,
Sì, è così...
Data l'equazione differenziale del secondo ordine $ y''+3y'+2y=e^(-x) $, la soluzione dell'equazione omogenea associata risulta essere $ y_o(x) = c_1 e^(-x) + c_2 e^{-2x} $, mentre una soluzione particolare è $y_p(x) = x e^{- x} $ per cui la soluzione dell'equazione differenziale proposta è la seguente:
$ y(x) = y_o(x) + y_p(x) = c_1 e^(-x) + c_2 e^{-2x} + x e^{- x} $
Si può verificare facilmente che è corretta anche la soluzione particolare proposta $ y_{p'}(x)=e^(-x)(x-1) $, infatti si ha:
$ y(x) = y_o(x) + y_{p'}(x) = c_1 e^(-x) + c_2 e^{-2x} + e^(-x)(x-1) = (c_1 - 1) e^(-x) + c_2 e^{-2x} + x e^(-x) $
Chiamando nuovamente con $c_1 $ la differenza $c_1 - 1 $ si ottiene proprio la soluzione già scritta in precedenza.
"Gandalf73":
[...] basta semplicemente fare le opportune derivate ed inserirle nell'equazione di partenza provando l'asserto.
Sì, è così...
Data l'equazione differenziale del secondo ordine $ y''+3y'+2y=e^(-x) $, la soluzione dell'equazione omogenea associata risulta essere $ y_o(x) = c_1 e^(-x) + c_2 e^{-2x} $, mentre una soluzione particolare è $y_p(x) = x e^{- x} $ per cui la soluzione dell'equazione differenziale proposta è la seguente:
$ y(x) = y_o(x) + y_p(x) = c_1 e^(-x) + c_2 e^{-2x} + x e^{- x} $
Si può verificare facilmente che è corretta anche la soluzione particolare proposta $ y_{p'}(x)=e^(-x)(x-1) $, infatti si ha:
$ y(x) = y_o(x) + y_{p'}(x) = c_1 e^(-x) + c_2 e^{-2x} + e^(-x)(x-1) = (c_1 - 1) e^(-x) + c_2 e^{-2x} + x e^(-x) $
Chiamando nuovamente con $c_1 $ la differenza $c_1 - 1 $ si ottiene proprio la soluzione già scritta in precedenza.
@pilloeffe: OK, ma non c'era bisogno di fare così.
@Gandalf: Certo. È esattamente questo ciò che ti è richiesto. Il lavoro che ti propone pilloeffe è eccessivo e non necessario qui. Se fossi l'esaminatore, sarei tentato di togliere qualche punto allo svolgimento di pilloeffe; certamente non avrei pietà se ci fosse qualche errore di conto.
Bisogna compiere il minimo sforzo necessario per arrivare alla soluzione; certamente non di meno, ma neanche di più. Anche perché lo svolgimento di pilloeffe, se venisse da una persona con meno esperienza, puzzerebbe di mancata comprensione della teoria, e di apprendimento meccanico.
Se ho ben capito, riguardo il secondo punto, basta semplicemente fare le opportune derivate ed inserirle nell'equazione di partenza provando l'asserto.
@Gandalf: Certo. È esattamente questo ciò che ti è richiesto. Il lavoro che ti propone pilloeffe è eccessivo e non necessario qui. Se fossi l'esaminatore, sarei tentato di togliere qualche punto allo svolgimento di pilloeffe; certamente non avrei pietà se ci fosse qualche errore di conto.
Bisogna compiere il minimo sforzo necessario per arrivare alla soluzione; certamente non di meno, ma neanche di più. Anche perché lo svolgimento di pilloeffe, se venisse da una persona con meno esperienza, puzzerebbe di mancata comprensione della teoria, e di apprendimento meccanico.
@dissonance Non ti vorrei come prof 
Comunque io, per il secondo punto, avrei scritto "per $c_1=-1$ e $c_2=0$ si ottiene la soluzione particolare proposta."
Comunque io, per il secondo punto, avrei scritto "per $c_1=-1$ e $c_2=0$ si ottiene la soluzione particolare proposta."
Ciao dissonance,
Credo che ti sia sfuggita la prima risposta del mio post:
In realtà sarebbe già finita così, se nel testo dell'OP non vi fosse anche la richiesta seguente:
Quindi, volenti o nolenti, serve trovare anche la soluzione dell'equazione omogenea associata $y_o(x) $
Poi è vero che non ho scritto la dimostrazione delle mie affermazioni, ma essendo la parte dell'esercizio "difficile" proprio la determinazione della soluzione particolare che fortunatamente è fornita dal testo, ho inteso lasciare questa parte più facile per esercizio...
Infatti, qualora non fosse stata assegnata la soluzione particolare, si sarebbe dovuto procedere osservando che $Ae^{-x} $ non può essere e quindi provando con $(Bx + C) e^{-x} $ che invece porge $B = 1 $ e $C$ qualsiasi (nella soluzione particolare fornita dal testo $C = - 1 $, mentre in quella che ho riportato $C = 0 $).
Riassumendo, certo che avrei proceduto nel modo seguente:
1) dimostrato che $y_{p'}(x) = e^(-x)(x-1) $ è una soluzione particolare dell'equazione differenziale proposta nel modo che ha già scritto l'OP e che gli ho confermato essere corretto:
2) determinato $y_o(x) $: questo punto è piuttosto semplice e non mi è sembrato il caso di soffermarmi più di tanto dimostrando l'affermazione $ y_o(x) = c_1 e^(-x) + c_2 e^{-2x} $;
3) risposto alla domanda posta di determinare l'integrale dell'equazione differenziale:
Credo che ti sia sfuggita la prima risposta del mio post:
"pilloeffe":
Sì, è così...
In realtà sarebbe già finita così, se nel testo dell'OP non vi fosse anche la richiesta seguente:
"Gandalf73":
Determinare l'integrale generale dell'equazione differenziale:
$ y''+3y′+2y = e^{-x} $
Quindi, volenti o nolenti, serve trovare anche la soluzione dell'equazione omogenea associata $y_o(x) $
Poi è vero che non ho scritto la dimostrazione delle mie affermazioni, ma essendo la parte dell'esercizio "difficile" proprio la determinazione della soluzione particolare che fortunatamente è fornita dal testo, ho inteso lasciare questa parte più facile per esercizio...
Infatti, qualora non fosse stata assegnata la soluzione particolare, si sarebbe dovuto procedere osservando che $Ae^{-x} $ non può essere e quindi provando con $(Bx + C) e^{-x} $ che invece porge $B = 1 $ e $C$ qualsiasi (nella soluzione particolare fornita dal testo $C = - 1 $, mentre in quella che ho riportato $C = 0 $).
Riassumendo, certo che avrei proceduto nel modo seguente:
1) dimostrato che $y_{p'}(x) = e^(-x)(x-1) $ è una soluzione particolare dell'equazione differenziale proposta nel modo che ha già scritto l'OP e che gli ho confermato essere corretto:
"Gandalf73":
basta semplicemente fare le opportune derivate ed inserirle nell'equazione di partenza provando l'asserto.
"pilloeffe":
Sì, è così...
2) determinato $y_o(x) $: questo punto è piuttosto semplice e non mi è sembrato il caso di soffermarmi più di tanto dimostrando l'affermazione $ y_o(x) = c_1 e^(-x) + c_2 e^{-2x} $;
3) risposto alla domanda posta di determinare l'integrale dell'equazione differenziale:
"pilloeffe":
$ y(x) = y_o(x) + y_{p'}(x) = c_1 e^(-x) + c_2 e^{-2x} + e^(-x)(x-1) = (c_1 - 1) e^(-x) + c_2 e^{-2x} + x e^(-x) $
[ot]Mi intrometto perché mi affascina sempre il contesto della comunicazione.
Io credo che dissonance, nel suo intervento, si riferisse al fatto che era già stata proposta dal quesito stesso una soluzione particolare, in più non era richiesto proporne un'altra; leggendo il suo intervento, non ho pensato neanche per un istante che si riferisse a come pilloeffe ha svolto la richiesta relativa all'omogenea associata.
Penso intendesse questo con "eccessivo e non necessario", ossia che in effetti non è necessario proporre un'altra soluzione particolare e quindi è eccessivo farlo.
In effetti, uno dei parametri di valutazione (anche se in casi come questo può essere un po' troppo rigido) è anche la comprensione del testo da parte dello studente che sostiene l'esame, con conseguente valutazione del fatto che lo studente deve fare quanto richiesto senza essere incompleto e senza aggiungere informazioni non richieste (specialmente se non sono stati completati tutti gli altri quesiti o se queste informazioni aggiuntive contengono errori, quest'ultima eventualità già da lui menzionata).
Comunque, conoscendo lo stile di risposta di pilloeffe, credo che questa risposta sia da ricondurre ad una sua tendenza alla completezza nei confronti di colui che pone la domanda, non una proiezione realistica di come risponderebbe lui ad un ipotetico quesito d'esame (ora, o ai tempi in cui li sosteneva).[/ot]
Io credo che dissonance, nel suo intervento, si riferisse al fatto che era già stata proposta dal quesito stesso una soluzione particolare, in più non era richiesto proporne un'altra; leggendo il suo intervento, non ho pensato neanche per un istante che si riferisse a come pilloeffe ha svolto la richiesta relativa all'omogenea associata.
Penso intendesse questo con "eccessivo e non necessario", ossia che in effetti non è necessario proporre un'altra soluzione particolare e quindi è eccessivo farlo.
In effetti, uno dei parametri di valutazione (anche se in casi come questo può essere un po' troppo rigido) è anche la comprensione del testo da parte dello studente che sostiene l'esame, con conseguente valutazione del fatto che lo studente deve fare quanto richiesto senza essere incompleto e senza aggiungere informazioni non richieste (specialmente se non sono stati completati tutti gli altri quesiti o se queste informazioni aggiuntive contengono errori, quest'ultima eventualità già da lui menzionata).
Comunque, conoscendo lo stile di risposta di pilloeffe, credo che questa risposta sia da ricondurre ad una sua tendenza alla completezza nei confronti di colui che pone la domanda, non una proiezione realistica di come risponderebbe lui ad un ipotetico quesito d'esame (ora, o ai tempi in cui li sosteneva).[/ot]
Con pilloeffe ci conosciamo virtualmente da anni, lui sa che lo stimo e non penso si sia offeso per il mio intervento al limite del provocatorio. È chiaro che non ce l'ho minimamente con pilloeffe. Volevo solo stimolare una riflessione: se già ci danno una soluzione particolare, non abbiamo bisogno di calcolarne un'altra.
"dissonance":
se già ci danno una soluzione particolare, non abbiamo bisogno di calcolarne un'altra.
Se fosse stato il primo punto dell'esercizio, immagino che saremmo tutti d'accordo
"dissonance":
Con pilloeffe ci conosciamo virtualmente da anni, lui sa che lo stimo e non penso si sia offeso per il mio intervento al limite del provocatorio.
Certo dissonance, pensi bene, non mi sono offeso e sai che la stima è reciproca.
Mephlip mi ha ben interpretato qui:
"Mephlip":
Comunque, conoscendo lo stile di risposta di pilloeffe, credo che questa risposta sia da ricondurre ad una sua tendenza alla completezza nei confronti di colui che pone la domanda, non una proiezione realistica di come risponderebbe lui ad un ipotetico quesito d'esame (ora, o ai tempi in cui li sosteneva).
Infatti è proprio così. Anzi, forse è perfino peggio, nel senso che anche quando sostenevo esami (e si parla più o meno di un quarto di secolo fa...
) avevo la tendenza alla completezza e all'approfondimento molto di più di quanto in effetti fosse richiesto, come ad esempio ciò che veniva affermato senza dimostrazione. Ad esempio nell'esame di Comunicazioni Elettriche I sul testo del docente c'era scritto "a questo punto basta fare uso dello sviluppo in serie [di Mittag-Leffler] [...] da cui:"$ \sum_{k = 1}^{+\infty} (- 1)^k/(z^2 - k^2) = \pi/(2z sin(\pi z)) - 1/(2z^2) $
Beh, mi misi a dimostrare l'affermazione (e non avevo ancora sostenuto l'esame di Analisi complessa...) cosa che naturalmente non era richiesta. Nel caso specifico il docente apprezzò l'iniziativa, ma non sempre le cose andarono altrettanto bene negli altri esami e comunque questo mi costringeva ad una fatica maggiore e a rallentare sugli esami: col senno di poi probabilmente non sosterrei gli esami che ho sostenuto allo stesso modo...
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