Equazione diff omogenea del secondo ordine
Gentili matematici,
qualcuno potrebbe prendere in considerazione la seguente equazione differenziale:
y"+ay'/x +by = 0 dove a e b sono costanti.
Grazie per un aiuto.
qualcuno potrebbe prendere in considerazione la seguente equazione differenziale:
y"+ay'/x +by = 0 dove a e b sono costanti.
Grazie per un aiuto.
Risposte
Per \(a=b=1\) hai un'equazione di Bessel; puoi intanto partire da lì.
Gentile Rigel,
ti ringrazio del suggerimento.
Purtroppo sono un vecchio ingegnere meccanico che si è imbattuto in questo tipo di equazioni studiando la dissipazione di calore in dischi sottili rotanti. Sono sempre costretto a semplificare al massimo sia a causa dei miei limiti matematici che per ragioni comunicative.
Credevo potessero esserci soluzioni semplici, da elaborare ulteriormente, che io non scorgevo per incompetenza.
La complessità del problema fisico, una volta passato a coordinate adimensionali, non mi permette di sapere esattamente a priori i segni delle costanti. Devo andare per tentativi. Una volta beccato un modello accettabile lo adatto con accorgimenti empirici dettati dai dati sperimentali.
Comunque sospetto fortemente che sia a=1 e b<0 visto che l'equazione y"- y'/x +4x^2y = 0 ha una soluzione periodica che mal si sposa con la fisica del mio problema.
Ho dato un'occhiata all'equazione di Bessel ed ho preso paura!
Grazie comunque.
Un caro saluto.
Rossano
ti ringrazio del suggerimento.
Purtroppo sono un vecchio ingegnere meccanico che si è imbattuto in questo tipo di equazioni studiando la dissipazione di calore in dischi sottili rotanti. Sono sempre costretto a semplificare al massimo sia a causa dei miei limiti matematici che per ragioni comunicative.
Credevo potessero esserci soluzioni semplici, da elaborare ulteriormente, che io non scorgevo per incompetenza.
La complessità del problema fisico, una volta passato a coordinate adimensionali, non mi permette di sapere esattamente a priori i segni delle costanti. Devo andare per tentativi. Una volta beccato un modello accettabile lo adatto con accorgimenti empirici dettati dai dati sperimentali.
Comunque sospetto fortemente che sia a=1 e b<0 visto che l'equazione y"- y'/x +4x^2y = 0 ha una soluzione periodica che mal si sposa con la fisica del mio problema.
Ho dato un'occhiata all'equazione di Bessel ed ho preso paura!
Grazie comunque.
Un caro saluto.
Rossano
"Rossano":
Comunque sospetto fortemente che sia a=1 e b<0 visto che l'equazione y"- y'/x +4x^2y = 0 ha una soluzione periodica che mal si sposa con la fisica del mio problema.
Questa equazione non rientra nella classe da te descritta nel primo messaggio.
Comunque, nella peggiore delle ipotesi puoi cercare le soluzioni con un software come Mathematica; le funzioni di Bessel, alla fine, sono funzioni come le altre...
Egregio Rigel,
forse non mi sono spiegato bene. Sospetto che la mia equazione sia del tipo:
y"+ y'/x -ky = 0 con x>0 sempre e dove k>0 cioè con a=1 e b<0 0 rispetto a quella inizialmente proposta.
L'equazione y"- y'/x +4x^2y = 0, diversa da quella inizialmente descritta, ha la soluzione y=Csen(x^2)+2cos(x^2) ed è per questo che il segno (-) nel termine con la derivata prima non dovrebbe andare bene.
Grazie mille ancora. Proverò con Mathematica.
Saluti.
forse non mi sono spiegato bene. Sospetto che la mia equazione sia del tipo:
y"+ y'/x -ky = 0 con x>0 sempre e dove k>0 cioè con a=1 e b<0 0 rispetto a quella inizialmente proposta.
L'equazione y"- y'/x +4x^2y = 0, diversa da quella inizialmente descritta, ha la soluzione y=Csen(x^2)+2cos(x^2) ed è per questo che il segno (-) nel termine con la derivata prima non dovrebbe andare bene.
Grazie mille ancora. Proverò con Mathematica.
Saluti.
"Rossano":
Gentili matematici,
qualcuno potrebbe prendere in considerazione la seguente equazione differenziale:
y"+ay'/x +by = 0 dove a e b sono costanti.
Grazie per un aiuto.
L’equazione differenziale...
$y^{\ ‘’} + \frac{a}[x}\ y^{\ ‘} + b\ y =0$ (1)
... e’ lineare omogenea e pertanto la sua soluzione sara’ del tipo...
$y(x)= c_{1}\ \varphi(x) + c_{2}\ \psi(x)$ (2)
... in cui $\varphi(x)$ e $\psi(x)$ son o due soluzioni qualsiasi della (1) purche' linearmente indipendenti, $c_{1}$ e $c_{2}$ due 'costanti arbitrarie'. Supponiamo che $\varphi(x)$ sia analitica in x=0, cioe' possa essere scritta come...
$\varphi(x)= \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\ x^{n}$ (3)
... e cerchiamo di valutarne i coefficienti $a_{n}$. Combinando insieme la (1) e la (3) otteniamo...
$ b \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\ x^{n} = - \sum_{n=2}^{\infty} n\ (n-1)\ a_{n}\ x^{n-2} - a\ \sum_{n=1}^{\infty} n\ a_{n}\ x^{n-2}$ (4)
Un primo dato importante che deriviamo dalla (4) e' che $a_{1}=0$ e lo stesso vale per le $a_{n}$ con n dispari. Per il calcolo delle $a_{n}$ con n pari cominciamo a porre, cosa che chiaramente non e' limitativa, $a_{0}=1$ e poi dalla (4) otteniamo...
$ b\ a_{0}= - 2\ (1+a)\ a_{2} \implies a_{2}= - \frac{b}{2\ (1+a)}\ a_{0} = - \frac{b}{2\ (1+a)}$
$b\ a_{2} = -4\ (3+a)\ a_{4} \implies a_{4}= - \frac{b}(4\ (3+a)}\ a_{2} = \frac{b^{2}}{8\ (3+a)\ (1+a)} $
...
$b\ a_{2 (n -1)} = - 2 n\ (2n-1-a)\ a_{2n} \implies a_{2 n} = - \frac{b}{2n\ (2n-1+a)}\ a_{2 (n-1)}= (-1)^{n}\ \frac{b^{n}}{2^{n}\ n!\ (2n -1 + a)\ (2n-3+a)...(1+a)}$ (5)
Le (5) ci permettono quindi di arrivare ad una prima soluzione particolare della (1)...
$\varphi (x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\ b^{n}} {2^{n}\ n!\ (2n-1+a)\ (2n-3+a)...(1+a)}\ x^{2 n}$ (6)
... che , quantunque abbia magari bisogno di qualche 'approfondimento', costituisce gia' un primo risultato...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
Egregio chisigma,
nel ringraziarti per il tempo dedicato devo farti tuttavia notare che per a=-1 la serie infinita s'inceppa già per n=1.
Il valore a=1 è, del resto, la cosa che ritengo più probabile per il mio caso ma, se accadesse diversamente (a=-1), la tua serie non funziona.
Bravo.
Grazie mille.
nel ringraziarti per il tempo dedicato devo farti tuttavia notare che per a=-1 la serie infinita s'inceppa già per n=1.
Il valore a=1 è, del resto, la cosa che ritengo più probabile per il mio caso ma, se accadesse diversamente (a=-1), la tua serie non funziona.
Bravo.
Grazie mille.
Esatto!... l'ipotesi da cui sono partito e' che esista una soluzione analitica in x=0 che si puo' scrivere come $\varphi(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\ x^{n}$. Se a=-1 e' chiaro che una soluzione cosi' non esiste e il caso a=-1 va studiato a parte... cosa possibile ovviamente...
Egregio chisigma,
supponendo assodato che sia a=1 va anche sottolineato che il modello prevede x>=1.
Detto ciò, secondo te, potrei costruire una soluzione approssimata prendendo un numero di termini pari al numero di costanti che posso individuare con le condizioni al contorno di cui dispongo?
Grazie per un parere.
Grazie mille.
Rossano
supponendo assodato che sia a=1 va anche sottolineato che il modello prevede x>=1.
Detto ciò, secondo te, potrei costruire una soluzione approssimata prendendo un numero di termini pari al numero di costanti che posso individuare con le condizioni al contorno di cui dispongo?
Grazie per un parere.
Grazie mille.
Rossano
Mi pare che, in generale, per $a,b$ reali, l'equazione \(y^{\prime \prime}(x) +\frac{a}{x}\ y^\prime (x) +b\ y(x)=0\) si possa ricondurre ad un'equazione tipo Bessel, il cui integrale generale è:
\[
y(x) := c_1\ x^{\frac{1-a}{2}}\ \operatorname{J}_{\frac{a-1}{2}} \left( \sqrt{|b|}\ x\right) + c_2\ x^{\frac{1-a}{2}}\ \operatorname{Y}_{\frac{a-1}{2}} \left( \sqrt{|b|}\ x\right) \; ,
\]
in cui \(\operatorname{J}_\nu\) ed \(\operatorname{Y}_\nu\) sono, rispettivamente, le funzioni di Bessel di prima e seconda specie d'ordine \(\nu\).
D'altra parte ciò non mi stupisce affatto, perché la EDO proposta è (grossomodo) simile all'equazione degli autovalori per il laplaciano radiale in un disco di \(\mathbb{R}^2\).
\[
y(x) := c_1\ x^{\frac{1-a}{2}}\ \operatorname{J}_{\frac{a-1}{2}} \left( \sqrt{|b|}\ x\right) + c_2\ x^{\frac{1-a}{2}}\ \operatorname{Y}_{\frac{a-1}{2}} \left( \sqrt{|b|}\ x\right) \; ,
\]
in cui \(\operatorname{J}_\nu\) ed \(\operatorname{Y}_\nu\) sono, rispettivamente, le funzioni di Bessel di prima e seconda specie d'ordine \(\nu\).
D'altra parte ciò non mi stupisce affatto, perché la EDO proposta è (grossomodo) simile all'equazione degli autovalori per il laplaciano radiale in un disco di \(\mathbb{R}^2\).
Se non ho capito male siamo arrivati ad avere \(a = 1\) e \(b = -k^2 < 0\).
Con una ulteriore trasformazione del tipo \(z(x) = y(x/k)\) ti riconduci al caso \(b=-1\), cioè all'equazione
\[
x^2 y'' + x y' - x^2 y = 0.
\]
Anche questa è un'equazione di Bessel (modificata), le cui due soluzioni indipendenti sono indicate, in letteratura, con \(I_0\) e \(K_0\).
Trovi maggiori dettagli, ad esempio, sul libro di Abramowitz e Stegun, par. 9.6:
http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_374.htm
Con una ulteriore trasformazione del tipo \(z(x) = y(x/k)\) ti riconduci al caso \(b=-1\), cioè all'equazione
\[
x^2 y'' + x y' - x^2 y = 0.
\]
Anche questa è un'equazione di Bessel (modificata), le cui due soluzioni indipendenti sono indicate, in letteratura, con \(I_0\) e \(K_0\).
Trovi maggiori dettagli, ad esempio, sul libro di Abramowitz e Stegun, par. 9.6:
http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_374.htm
"Rossano":
Egregio chisigma,
supponendo assodato che sia a=1 va anche sottolineato che il modello prevede x>=1.
Detto ciò, secondo te, potrei costruire una soluzione approssimata prendendo un numero di termini pari al numero di costanti che posso individuare con le condizioni al contorno di cui dispongo?
Grazie per un parere.
Grazie mille.
Rossano
Egregio Rossano
ad essere sincero non ho capito ancora se e' a=1 o a=-1... perche' se e' a=1 allora quello che, bene o male, si e' ottenuto va' bene!... secondo punto importante il fatto che si richiede la soluzione per $x \ge 1$ puo' semplificare o complicare il problema a seconda dei punti di vista... mi spiego meglio, con la soluzione da me trovata si presuppone di dare la sola condizione iniziale $y(0)=y_{0}$ poiche' se la soluzione e' pari e' automaticamente $y^{\ '}(0)=0$ ... se le condizioni iniziali sono date per x=1 allora il discorso deve essere esteso...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
Grazie mille GUGO82!
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