Equazione diff. non omogenea a coefficienti non costanti
Sono disperato, questo che andrò a proporvi è un esercizio di un appello di analisi, solo che non quando sono arrivato in tempo alla correzione del compito, il prof già l'aveva finita.
Risolvere il seguente problema:
$\{(y' + y/(1+x^2) = x/(1+x^2)^2),(y(0) = 1):}$
So soltanto che alla fine della soluzione dell'esercizio entrava in gioco l'arcotangente , solo che i passaggi intermedi ... buio totale, non riesco a venirne a capo.
Grazie a tutte le anime pie che mi aiuteranno
Risolvere il seguente problema:
$\{(y' + y/(1+x^2) = x/(1+x^2)^2),(y(0) = 1):}$
So soltanto che alla fine della soluzione dell'esercizio entrava in gioco l'arcotangente , solo che i passaggi intermedi ... buio totale, non riesco a venirne a capo.
Grazie a tutte le anime pie che mi aiuteranno
Risposte
è un'equazione differenziale del primo ordine ordinaria, di solito nella forma $y'(x) + a(x)y(x) = b(x)$ e con condizione di cauchy $y(x_0) = y_0$
Per risolvere questo genere di equazioni differenziali, si cerca di ottenere a primo membro l'espressione della derivata di un prodotto.
Una soluzione è $f(x) = e^{\int_(x_0)^x a(t) dt} = e^{A(x)}$ questo termine viene anche chiamato fattore integrante.
Si procede quindi moltiplicando tutta l'equazione per $f(x)$, ottenendo $e^{A(x)} y'(x) + y(x)a(x) e^{A(x)} = e^{A(x)} b(x)$ è facile notare che a primo membro si ha $(y(x) e^{A(x)})'$ appunto la derivata di un prodotto di due funzioni.
Si procede quindi integrando a destra e sinistra
$\int_{x_0}^x (y(t) e^{A(t)})' dt = \int_{x_0}^x e^{A(s)} b(s) ds$ ottenendo $y(x) e^{A(x)} - y_0 e^{A(x_0)} = \int_{x_0}^x e^{A(s)} b(s) ds$
La soluzione si ricava quindi come $y(x) = y_0 e^{-(A(x) - A(x_0))} + e^{-A(x)} \int_{x_0}^x e^{A(s)} b(s) ds$.
Questo è quanto a livello meramente pratico, un consiglio, la formula finale non conviene impararla e applicarla, poichè in certi casi bisogna effettuare considerazioni a monte che possono portare quindi a soluzioni diverse da quelle a cui porta la formula finale direttamente.
Prova a risolvere ora il tuo esercizio, seguendo lo schema risolutivo, se hai problemi chiedi pure.
Per risolvere questo genere di equazioni differenziali, si cerca di ottenere a primo membro l'espressione della derivata di un prodotto.
Una soluzione è $f(x) = e^{\int_(x_0)^x a(t) dt} = e^{A(x)}$ questo termine viene anche chiamato fattore integrante.
Si procede quindi moltiplicando tutta l'equazione per $f(x)$, ottenendo $e^{A(x)} y'(x) + y(x)a(x) e^{A(x)} = e^{A(x)} b(x)$ è facile notare che a primo membro si ha $(y(x) e^{A(x)})'$ appunto la derivata di un prodotto di due funzioni.
Si procede quindi integrando a destra e sinistra
$\int_{x_0}^x (y(t) e^{A(t)})' dt = \int_{x_0}^x e^{A(s)} b(s) ds$ ottenendo $y(x) e^{A(x)} - y_0 e^{A(x_0)} = \int_{x_0}^x e^{A(s)} b(s) ds$
La soluzione si ricava quindi come $y(x) = y_0 e^{-(A(x) - A(x_0))} + e^{-A(x)} \int_{x_0}^x e^{A(s)} b(s) ds$.
Questo è quanto a livello meramente pratico, un consiglio, la formula finale non conviene impararla e applicarla, poichè in certi casi bisogna effettuare considerazioni a monte che possono portare quindi a soluzioni diverse da quelle a cui porta la formula finale direttamente.
Prova a risolvere ora il tuo esercizio, seguendo lo schema risolutivo, se hai problemi chiedi pure.
Grazie per la risposta, però si il procedimento di risoluzione di quella famiglia di eq. diff. già lo conoscevo.
Il problema sta nel fatto che
$int a(x) = tg^-1(x)$
quindi è come se avessi
$e^(cos(x)/sin(x))$
e quando vado a porre $x=x_0$ IO vado nel panico, perchè a denominatore ho 0.
Il problema sta nel fatto che
$int a(x) = tg^-1(x)$
quindi è come se avessi
$e^(cos(x)/sin(x))$
e quando vado a porre $x=x_0$ IO vado nel panico, perchè a denominatore ho 0.
no.... hai appunto $A(x) = atan(x)$ non $ctg(x) = (cos(x))/(sin(x))$.
L'arcotangente e la cotangente sono funzioni diverse!
L'arcotangente e la cotangente sono funzioni diverse!
Dannazione vero! Grazie! $tg^-1(x)$ è ben diverso da $tg(x)^-1$
Ora però mi ritrovo con un bel
$e^(-arctg(x)) [int e^(arctg(x))x/(1+x^2)^2d(x) + c]$
L'integrale dentro alle quadre come và digerito ????
Ora però mi ritrovo con un bel
$e^(-arctg(x)) [int e^(arctg(x))x/(1+x^2)^2d(x) + c]$
L'integrale dentro alle quadre come và digerito ????
io procederei con la sostituizione $\arctg(x) = t$ ottenendo
$\int e^t (\tan(t))/(\tan^2(t) + 1) dt = \int e^t \cos(t)\sin(t) dt = 2\int e^t sin(2t) dt$ ora questo o lo svolgi applicando due volte l'integrazione per parti oppure vedi $\sin(2t) = (e^{i 2 t} - e^{-i 2t})/(2i)$ e integri gli esponenziali complessi e poi sommi i risultati avendo cura di ottenere ancora un risultato reale.
$\int e^t (\tan(t))/(\tan^2(t) + 1) dt = \int e^t \cos(t)\sin(t) dt = 2\int e^t sin(2t) dt$ ora questo o lo svolgi applicando due volte l'integrazione per parti oppure vedi $\sin(2t) = (e^{i 2 t} - e^{-i 2t})/(2i)$ e integri gli esponenziali complessi e poi sommi i risultati avendo cura di ottenere ancora un risultato reale.
Sei ufficialmente un'anima pia 
Grazie tante
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