Equazione di Verhulst
Salve a tutti, sono nuovo e mi presento, mi chiamo Matteo e abito a Torino.
Non riesco proprio a capire come risolvere questa equazione differenziale
$ d/dtP = aP(t) - bP^2(t) + I $
c'è qualcuno che mi può spiegare?
Non riesco proprio a capire come risolvere questa equazione differenziale
$ d/dtP = aP(t) - bP^2(t) + I $
c'è qualcuno che mi può spiegare?
Risposte
Sembra una normalissima EDO del primo ordine a variabili separabili... Ovviamente bisogna stare un po' attenti ai parametri [tex]$a,b,I$[/tex] ma, volendo fare tutto molto alla buona, l'integrale in forma implicita (ossia nella forma [tex]$F(P)=t$[/tex]) si ricava dalla relazione:
[tex]$\int_{P_0}^{P} \frac{\text{d} p}{I+ap-bp^2} = t$[/tex],
in cui [tex]$P_0=P(0)$[/tex]*, che si ottiene formalmente dalla EDO dividendo m.a.m. per [tex]$I+aP-bP^2$[/tex] ed integrando m.a.m. sull'intervallo [tex]$[0,t]$[/tex].
Il problema, casomai, è esplicitare la relazione precedente rispetto a [tex]$P$[/tex], ossia determinare "a mano" la [tex]$P(t)$[/tex].
Ad ogni modo, le usuali conoscenze di Analisi I e II dovrebbero essere sufficienti a risolvere (almeno qualitativamente) il problema.
Prova un po' e facci sapere.
__________
* Ho assunto come punto iniziale [tex]$t_0=0$[/tex] come si usa fare di solito per modelli fisico-matematici; se [tex]$t_0\neq 0$[/tex] il secondo membro va sostituito con [tex]$t-t_0$[/tex] ed in tal caso sarà [tex]$P_0=P(t_0)$[/tex]
[tex]$\int_{P_0}^{P} \frac{\text{d} p}{I+ap-bp^2} = t$[/tex],
in cui [tex]$P_0=P(0)$[/tex]*, che si ottiene formalmente dalla EDO dividendo m.a.m. per [tex]$I+aP-bP^2$[/tex] ed integrando m.a.m. sull'intervallo [tex]$[0,t]$[/tex].
Il problema, casomai, è esplicitare la relazione precedente rispetto a [tex]$P$[/tex], ossia determinare "a mano" la [tex]$P(t)$[/tex].
Ad ogni modo, le usuali conoscenze di Analisi I e II dovrebbero essere sufficienti a risolvere (almeno qualitativamente) il problema.
Prova un po' e facci sapere.
__________
* Ho assunto come punto iniziale [tex]$t_0=0$[/tex] come si usa fare di solito per modelli fisico-matematici; se [tex]$t_0\neq 0$[/tex] il secondo membro va sostituito con [tex]$t-t_0$[/tex] ed in tal caso sarà [tex]$P_0=P(t_0)$[/tex]
Grazie per la risposta.
Il problema è che devo determinare $ P(t) $ e non riesco a risolvere $ int_(P_0)^(P) frac{text{d} p}{I+ap-bp^2} $ .
Su un libro sono riuscito a trovare il risultato, ma non spiega il procedimento, rimandando alla risoluzione di $ d/dtP=aP(t)-bP^2(t) $ , dove utilizza una semplice sostituzione, ho provato a manipolare l'equazione per seguire lo stesso metodo, ma niente.
La soluzione scritta dal libro è la seguente, se può essere d'aiuto.
$ P(t)=frac{k_o(a+sqrt(a^(2)+4bI) )e^(t*sqrt(a^(2)+4bI) )-a+sqrt(a^(2)+4bI) }{2b(k_oe^(t*sqrt(a^(2)+4bI )) -1 )) $
con $ k_o=frac{a-2bp_o-sqrt(a^(2)+4bI)}{a-2bp_o +sqrt(a^(2)+4bI)} $
Il problema è che devo determinare $ P(t) $ e non riesco a risolvere $ int_(P_0)^(P) frac{text{d} p}{I+ap-bp^2} $ .
Su un libro sono riuscito a trovare il risultato, ma non spiega il procedimento, rimandando alla risoluzione di $ d/dtP=aP(t)-bP^2(t) $ , dove utilizza una semplice sostituzione, ho provato a manipolare l'equazione per seguire lo stesso metodo, ma niente.
La soluzione scritta dal libro è la seguente, se può essere d'aiuto.
$ P(t)=frac{k_o(a+sqrt(a^(2)+4bI) )e^(t*sqrt(a^(2)+4bI) )-a+sqrt(a^(2)+4bI) }{2b(k_oe^(t*sqrt(a^(2)+4bI )) -1 )) $
con $ k_o=frac{a-2bp_o-sqrt(a^(2)+4bI)}{a-2bp_o +sqrt(a^(2)+4bI)} $
Per ricondurti alla forma [tex]$Q^\prime =\alpha Q-b Q^2$[/tex] devi levare di mezzo [tex]$i$[/tex]: ciò si può fare semplicemente ponendo [tex]$Q=P-k$[/tex] e ricavando il [tex]$k$[/tex] buono per "uccidere" il termine noto.
Infatti si ha [tex]$Q^\prime =P^\prime$[/tex], [tex]$aP=aQ-ak$[/tex], [tex]$bP^2=bQ^2-2bkQ+bk^2$[/tex] sicché la sostituzione di variabile [tex]$Q=P-k$[/tex] trasforma l'equazione in:
[tex]$Q^\prime = (a +2bk)Q-bQ^2-(bk^2+ak-i)$[/tex];
quindi per levare di mezzo [tex]$i$[/tex] basta scegliere [tex]$k$[/tex] in modo che [tex]$bk^2+ak-i=0$[/tex], ossia [tex]$k=\frac{-a\pm \sqrt{a^2+4bi}}{2b}$[/tex] (qui credo si possa prendere il valore di [tex]$k$[/tex] che è più comodo tra i due).
In tal modo abbiamo portato l'equazione nella forma [tex]$Q^\prime =Q(\alpha -b Q)$[/tex] con $\alpha :=(a +2bk)$.
Tale forma si può ancora semplificare: infatti sostituendo [tex]$Q=\frac{1}{b} \ R$[/tex] ci riconduciamo a:
(*) [tex]$R^\prime =R(\alpha-R)$[/tex]
che è la foma semplificata dell'equazione originaria.
Una volta risolta (*) per passare dalla [tex]$R$[/tex] alla [tex]$P$[/tex] basta ricordare che [tex]$P=Q+k=\frac{1}{b} \ R+k$[/tex].
Per risolvere la (*) si usa il ragionamento che ho fatto prima, unito al fatto che:
[tex]$\int_{R_0}^R \frac{\text{d} r}{r(\alpha -r)} =\frac{1}{\alpha} \Big[ \ln \left| \frac{r}{r-\alpha}\right| \Big]_{R_0}^R$[/tex]
per noti fatti d'integrazione elementare.
Infatti si ha [tex]$Q^\prime =P^\prime$[/tex], [tex]$aP=aQ-ak$[/tex], [tex]$bP^2=bQ^2-2bkQ+bk^2$[/tex] sicché la sostituzione di variabile [tex]$Q=P-k$[/tex] trasforma l'equazione in:
[tex]$Q^\prime = (a +2bk)Q-bQ^2-(bk^2+ak-i)$[/tex];
quindi per levare di mezzo [tex]$i$[/tex] basta scegliere [tex]$k$[/tex] in modo che [tex]$bk^2+ak-i=0$[/tex], ossia [tex]$k=\frac{-a\pm \sqrt{a^2+4bi}}{2b}$[/tex] (qui credo si possa prendere il valore di [tex]$k$[/tex] che è più comodo tra i due).
In tal modo abbiamo portato l'equazione nella forma [tex]$Q^\prime =Q(\alpha -b Q)$[/tex] con $\alpha :=(a +2bk)$.
Tale forma si può ancora semplificare: infatti sostituendo [tex]$Q=\frac{1}{b} \ R$[/tex] ci riconduciamo a:
(*) [tex]$R^\prime =R(\alpha-R)$[/tex]
che è la foma semplificata dell'equazione originaria.
Una volta risolta (*) per passare dalla [tex]$R$[/tex] alla [tex]$P$[/tex] basta ricordare che [tex]$P=Q+k=\frac{1}{b} \ R+k$[/tex].
Per risolvere la (*) si usa il ragionamento che ho fatto prima, unito al fatto che:
[tex]$\int_{R_0}^R \frac{\text{d} r}{r(\alpha -r)} =\frac{1}{\alpha} \Big[ \ln \left| \frac{r}{r-\alpha}\right| \Big]_{R_0}^R$[/tex]
per noti fatti d'integrazione elementare.
Grazie mille gugo, il tuo aiuto è stato preziosissimo.
L'unica cosa che non sono riuscito a ricavare è la soluzione per $ I < 0 $ e $ a^2 < 4b|I| $ , ma non è fondamentale e posso continuare comunque il lavoro.
L'unica cosa che non sono riuscito a ricavare è la soluzione per $ I < 0 $ e $ a^2 < 4b|I| $ , ma non è fondamentale e posso continuare comunque il lavoro.
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