EQUAZIONE DI UN PIANO....AIUTO ESAME

[stella.rad85]

Sia p il piano dello spazio V3 con equazione cartesiana 4x-y+2z=3. Determinare:
1) un'equazione vettoriale di p
2) un'equazione (vettoriale o cartesiana) di un piano perpendicolare a p
3) la distanza dal punto (1,1,1) da p
4) un'equazione vettoriale di una retta che forma con p un angolo di 30°

GRAZIE MILLE!

[davi02]

1) A = (3/4, 0, 0), B = (0,-3, 0), C = (0, 0, 3/2)
sono tre punti di p,
B–A = (-3/4, -3, 0), C–A = (-3/4, 0, 3/2)
sono due vettori paralleli a p,
P = A + s(B–A) + t(C–A) = (3/4, 0, 0) + s(-3/4, -3, 0) + t(-3/4, 0, 3/2)
è un’equazione vettoriale di p.

2) Il vettore dei coefficienti di p
u = (4, -1, 2)
è perpendicolare a p; allora un generico piano affine q perpendicolare a p ha equazione vettoriale
P = K + su + tu’
dove K è un punto dello spazio, u’ è un vettore non parallelo a u.
Per esempio, con K = (0, 0, 0), u’ = (1, 0, 0)
P = s(4, -1, 2) + t(1, 0, 0)
è uno specifico piano perpendicolare a p.

3) La retta passante per Q = (1, 1, 1) e perpendicolare a p ha equazione vettoriale
P = Q + su = (1+4s, 1-s, 1+2s)
Sostituendo nell’equazione di p si trova
4(1+3s) - (1-s) + 2(1+2s) = 3
da cui s = -2/17, P = (9/17, 19/17, 13/17).
Quindi la proiezione ortogonale di (1,1,1) su p è il punto
H = (9/17, 19/17, 13/17)
Q–H = (8/17, -2/17, 4/17)
e la distanza di Q da p è
|Q–H| = √(64 + 4 + 16)/17 = 2√21/17

4) L’angolo che una retta r, parallela ad un vettore u’, forma con il piano p è il complementare dell’angolo compreso tra il vettore u’ parallelo ad r e il vettore u perpendicolare a p.
Un vettore u’ = (a, b, c) di norma |u’| = 1 forma con u = (4, -1, 2) un angolo di 60° se
u’·u = |u’|·|u|·cos(60°) = √21/2
Dunque a, b, c sono soluzioni delle equazioni
a² + b² + c² = 1
4a - b + 2c = √21/2
Una soluzione è p.es. a = (2√21 + √59)/20, b = 0, c = (2√21 – √59)/20; la retta r corrispondente ha equazione vettoriale
P = s(2√21 + √59)/20, 0, (2√21 – √59)/20)