Equazione di un paraboloide di rotazione
salve
mi potete dire l'equazione di un paraboloide di rotazione come luogo di zeri di una funzione e l'equazione del piano tangente al suo vertice come luogo di zeri di una funzione?
è una domanda che è stata fatta ad un esame orale di analisi 2, e non sono riuscito a rispondere
mi potete dare una mano?
grazie mille
mi potete dire l'equazione di un paraboloide di rotazione come luogo di zeri di una funzione e l'equazione del piano tangente al suo vertice come luogo di zeri di una funzione?
è una domanda che è stata fatta ad un esame orale di analisi 2, e non sono riuscito a rispondere
mi potete dare una mano?
grazie mille
Risposte
mmm
posso solo ragionare con te, non ti prometto niente magari dico una fesseria!
la scrittura
$z=x^2+y^2$ è l'equazione di un paraboloide di rotazione, noi vogliamo scrivere una funzione in cui facendo in modo che quando z è uguale alla somma dei due quadrati, venga 0?
$f(x;y;z)=x^2+y^2-z$
posso solo ragionare con te, non ti prometto niente magari dico una fesseria!
la scrittura
$z=x^2+y^2$ è l'equazione di un paraboloide di rotazione, noi vogliamo scrivere una funzione in cui facendo in modo che quando z è uguale alla somma dei due quadrati, venga 0?
$f(x;y;z)=x^2+y^2-z$
L'equazione di un paraboloide o di una qualsiasi altra funzione f come luogo degli zeri di un'altra F è garantita e individuata dal teorema delle funzioni implicite, se questo è applicabile, ovvero se il gradiente di F è diverso da zero, ma dovresti approfondire 
Un paraboloide di rotazione può essere descritto dalla funzione
$\sigma(t,\theta)=( tcos\theta , tsen\theta , t^2 )$ per $(t,\theta) in [a,b]x[0,2pi] -> RR^3$
ottenuto appunto per rotazione di un angolo giro attorno all'asse z della funzione z=x^2. Per questa scrittura ho posto
$x = tcos\theta$ , $y = tsen\theta$ e quindi ( poichè $z = x^2 + y^2$ ) $z = t^2$

Un paraboloide di rotazione può essere descritto dalla funzione
$\sigma(t,\theta)=( tcos\theta , tsen\theta , t^2 )$ per $(t,\theta) in [a,b]x[0,2pi] -> RR^3$
ottenuto appunto per rotazione di un angolo giro attorno all'asse z della funzione z=x^2. Per questa scrittura ho posto
$x = tcos\theta$ , $y = tsen\theta$ e quindi ( poichè $z = x^2 + y^2$ ) $z = t^2$
"ghezzi68v":
L'equazione di un paraboloide o di una qualsiasi altra funzione f come luogo degli zeri di un'altra F è garantita e individuata dal teorema delle funzioni implicite, se questo è applicabile, ovvero se il gradiente di F è diverso da zero, ma dovresti approfondire
Un paraboloide di rotazione può essere descritto dalla funzione
$\sigma(t,\theta)=( tcos\theta , tsen\theta , t^2 )$ per $(t,\theta) in [a,b]x[0,2pi] -> RR^3$
ottenuto appunto per rotazione di un angolo giro attorno all'asse z della funzione z=x^2. Per questa scrittura ho posto
$x = tcos\theta$ , $y = tsen\theta$ e quindi ( poichè $z = x^2 + y^2$ ) $z = t^2$
No no lascia stare!

@gio73 anche io avevo pensato come te, e alla tua stessa formula:) ma avevo qualche dubbio
vorrei precisare una cosa, la domanda originale era questa:
enunciare una condizone sufficiente affinche una superficie definita come luogo di zeri di una funzione $g(x,y,z)$ abbia il piano tangente in un dato punto. Scrivere l'equazione di tale piano come luogo di zeri di una funzione, e poi... scrivere l'equazione di un paraboloide di rotazione come luogo di zeri di una funzione e l'equazione del piano tangente al suo vertice come luogo di zeri di una funzione
per la prima parte ho trovato risposta, $g$ deve essere differenziabile in un intorno di $P(x_0,y_0,z_0)$ e $grad g(P)!=0$
il piano tangente in P ha equazione cartesiana $grad g(P)*((x-x_0), (y-y_0), (z-z_0))$
correggetemi se sbaglio:)
e per la seconda parte?
vorrei precisare una cosa, la domanda originale era questa:
enunciare una condizone sufficiente affinche una superficie definita come luogo di zeri di una funzione $g(x,y,z)$ abbia il piano tangente in un dato punto. Scrivere l'equazione di tale piano come luogo di zeri di una funzione, e poi... scrivere l'equazione di un paraboloide di rotazione come luogo di zeri di una funzione e l'equazione del piano tangente al suo vertice come luogo di zeri di una funzione
per la prima parte ho trovato risposta, $g$ deve essere differenziabile in un intorno di $P(x_0,y_0,z_0)$ e $grad g(P)!=0$
il piano tangente in P ha equazione cartesiana $grad g(P)*((x-x_0), (y-y_0), (z-z_0))$
correggetemi se sbaglio:)
e per la seconda parte?
E' corretta quindi questa condizione??