Equazione di un paraboloide di rotazione

manu911
salve
mi potete dire l'equazione di un paraboloide di rotazione come luogo di zeri di una funzione e l'equazione del piano tangente al suo vertice come luogo di zeri di una funzione?
è una domanda che è stata fatta ad un esame orale di analisi 2, e non sono riuscito a rispondere
mi potete dare una mano?

grazie mille

Risposte
gio73
mmm
posso solo ragionare con te, non ti prometto niente magari dico una fesseria!
la scrittura
$z=x^2+y^2$ è l'equazione di un paraboloide di rotazione, noi vogliamo scrivere una funzione in cui facendo in modo che quando z è uguale alla somma dei due quadrati, venga 0?
$f(x;y;z)=x^2+y^2-z$

ghezzi68v
L'equazione di un paraboloide o di una qualsiasi altra funzione f come luogo degli zeri di un'altra F è garantita e individuata dal teorema delle funzioni implicite, se questo è applicabile, ovvero se il gradiente di F è diverso da zero, ma dovresti approfondire :-)

Un paraboloide di rotazione può essere descritto dalla funzione

$\sigma(t,\theta)=( tcos\theta , tsen\theta , t^2 )$ per $(t,\theta) in [a,b]x[0,2pi] -> RR^3$

ottenuto appunto per rotazione di un angolo giro attorno all'asse z della funzione z=x^2. Per questa scrittura ho posto

$x = tcos\theta$ , $y = tsen\theta$ e quindi ( poichè $z = x^2 + y^2$ ) $z = t^2$

dissonance
"ghezzi68v":
L'equazione di un paraboloide o di una qualsiasi altra funzione f come luogo degli zeri di un'altra F è garantita e individuata dal teorema delle funzioni implicite, se questo è applicabile, ovvero se il gradiente di F è diverso da zero, ma dovresti approfondire :-)

Un paraboloide di rotazione può essere descritto dalla funzione

$\sigma(t,\theta)=( tcos\theta , tsen\theta , t^2 )$ per $(t,\theta) in [a,b]x[0,2pi] -> RR^3$

ottenuto appunto per rotazione di un angolo giro attorno all'asse z della funzione z=x^2. Per questa scrittura ho posto

$x = tcos\theta$ , $y = tsen\theta$ e quindi ( poichè $z = x^2 + y^2$ ) $z = t^2$

No no lascia stare! :-) Non dici cose sbagliate ma la domanda dell'OP è molto più semplice. Vedi che si parla di "luogo di zeri di una funzione"? Tu invece stai dando una rappresentazione del paraboloide che si dice "parametrica". (Il teorema della funzione implicita che citi all'inizio è esattamente il fondamento teorico dell'equivalenza tra le due rappresentazioni.) Alla fine poi passi addirittura in coordinate cilindriche. Tutto ciò non è necessario qui.

manu911
@gio73 anche io avevo pensato come te, e alla tua stessa formula:) ma avevo qualche dubbio

vorrei precisare una cosa, la domanda originale era questa:
enunciare una condizone sufficiente affinche una superficie definita come luogo di zeri di una funzione $g(x,y,z)$ abbia il piano tangente in un dato punto. Scrivere l'equazione di tale piano come luogo di zeri di una funzione, e poi... scrivere l'equazione di un paraboloide di rotazione come luogo di zeri di una funzione e l'equazione del piano tangente al suo vertice come luogo di zeri di una funzione

per la prima parte ho trovato risposta, $g$ deve essere differenziabile in un intorno di $P(x_0,y_0,z_0)$ e $grad g(P)!=0$
il piano tangente in P ha equazione cartesiana $grad g(P)*((x-x_0), (y-y_0), (z-z_0))$

correggetemi se sbaglio:)
e per la seconda parte?

sore93-votailprof
E' corretta quindi questa condizione??

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