Equazione di superficie laterale (cono)
Ri-salve a tutti.
oggi mi sono imbattuto in un esercizio abbastanza semplice:
ho una curva $y=f(z)$, nel caso specifico una retta $y=az$ con $a=cost !=0$ e un intervallo del tipo $z in [0,-4]$
Calcolo il volume $V$ del solido di rotazione, facendo ruotare attorno all'asse $z$, un cono con vertice in $O$;
verifico che il bordo $delV$ sia una superficie regolare a pezzi e ne calcolo l'area. Sin qui nessun problema.
Mi manca solo una richiesta da soddisfare: "è possibile esprimere la superficie laterale come grafico di una funzione $z=f(x,y)$ ?"
Ora credo di poter facilmente ricavarne l'equazione parametrica
$\phi : \{(x=f(u)cos(v)),(y=f(u)sin(v)),(z=u):}$
ma non mi viene in mente come possa trovare $z=f(x,y)$.
Ho cercato sui miei libri ed appunti ma non ho trovato nulla. Qualche idea / spunto di riflessione / teorema?
grazie!
oggi mi sono imbattuto in un esercizio abbastanza semplice:
ho una curva $y=f(z)$, nel caso specifico una retta $y=az$ con $a=cost !=0$ e un intervallo del tipo $z in [0,-4]$
Calcolo il volume $V$ del solido di rotazione, facendo ruotare attorno all'asse $z$, un cono con vertice in $O$;
verifico che il bordo $delV$ sia una superficie regolare a pezzi e ne calcolo l'area. Sin qui nessun problema.
Mi manca solo una richiesta da soddisfare: "è possibile esprimere la superficie laterale come grafico di una funzione $z=f(x,y)$ ?"
Ora credo di poter facilmente ricavarne l'equazione parametrica
$\phi : \{(x=f(u)cos(v)),(y=f(u)sin(v)),(z=u):}$
ma non mi viene in mente come possa trovare $z=f(x,y)$.
Ho cercato sui miei libri ed appunti ma non ho trovato nulla. Qualche idea / spunto di riflessione / teorema?
grazie!
Risposte
Prova ad elevare al quadrato le prime due equazioni della r.p. ed a sommare quanto ottenuto membro a membro: se la [tex]$f^2(u)$[/tex] è invertibile cosa succede?
$[f(u)cos(v)]^2+[f(u)sin(v)]^2 = f^2(u) $
se $f(u)$ è invertibile significa che è biunivoca
se $f(u)$ è invertibile significa che è biunivoca
Dai grazie di tutto, vedrò di capire questa cosa!
Male che vada provo a chiedere al professore
Buona matematica a tutti
Male che vada provo a chiedere al professore
Buona matematica a tutti
Scusa ebol, ma tra ieri e oggi ho smanettato poco col pc.
Ad ogni modo, elevando al quadrato e sommando le prime due uguaglianze trovi [tex]$x^2+y^2=f^2(u)$[/tex]; ma, usando la terza uguaglianza [tex]$z=u$[/tex], dalla precedente ricavi:
[tex]$x^2+y^2=f^2 (z)$[/tex],
che è un'equazione implicita che descrive la tua superficie.
Se la funzione [tex]$\varphi =f^2$[/tex] che figura al secondo membro è invertibile, allora dalla precedente ricavi:
[tex]$z=\varphi^{-1} (x^2+y^2)$[/tex],
di modo che la tua superficie (almeno localmente) coincide col grafico della funzione [tex]$F(x,y):=\varphi^{-1} (x^2+y^2)$[/tex].
Che ne dici?
***
Esempio pratico:
Prendiamo [tex]$f(u):=\arccos u$[/tex], di modo che la superficie in considerazioni ha equazioni parametriche:
[tex]$\begin{cases} x=\arccos u\ \cos v\\ y=\arccos u\ \sin v\\ z= u \end{cases}$[/tex]
con [tex]$(u,v)\in [-1,1]\times [0,2\pi ]$[/tex].
Per quanto detto in precedenza l'equazione implicita della tua superficie è:
[tex]$x^2+y^2=\arccos^2 z$[/tex];
la funzione [tex]$\varphi (z):=\arccos^2 z$[/tex] è un'applicazione invertibile (perchè strettamente monotona) di [tex]$[-1,1]$[/tex] in [tex]$[0,\pi^2]$[/tex] e la sua inversa si trova risolvendo rispetto a [tex]$z$[/tex] l'equazione [tex]$t=\arccos^2 z$[/tex] (con [tex]$t\in [0,\pi^2]$[/tex]): essendo:
[tex]$t=\arccos^2 z \Leftrightarrow \sqrt{t} =\arccos z \Leftrightarrow z=\cos \sqrt{t}$[/tex],
si ha [tex]$\varphi^{-1} (t) =\cos \sqrt{t}$[/tex]; per quanto detto in precedenza, la tua superficie coincide col grafico della funzione
[tex]$F(x,y):=\cos \sqrt{x^2+y^2}$[/tex]
con [tex]$(x,y)$[/tex] soddisfacente la condizione [tex]$x^2+y^2=t\in [0,\pi^2]$[/tex]; visto che la condizione è soddisfatta solo se [tex]$(x,y)$[/tex] è un punto del cerchio chiuso di centro [tex]$(0,0)$[/tex] e raggio [tex]$\pi$[/tex], cioè se [tex]$\lvert (x,y)\rvert \leq \pi$[/tex], la tua superficie coincide col grafico di:
[tex]$F:\{ \lvert (x,y)\rvert \leq \pi \} \ni (x,y) \mapsto \cos \sqrt{x^2+y^2} \in \mathbb{R}$[/tex].
Ad ogni modo, elevando al quadrato e sommando le prime due uguaglianze trovi [tex]$x^2+y^2=f^2(u)$[/tex]; ma, usando la terza uguaglianza [tex]$z=u$[/tex], dalla precedente ricavi:
[tex]$x^2+y^2=f^2 (z)$[/tex],
che è un'equazione implicita che descrive la tua superficie.
Se la funzione [tex]$\varphi =f^2$[/tex] che figura al secondo membro è invertibile, allora dalla precedente ricavi:
[tex]$z=\varphi^{-1} (x^2+y^2)$[/tex],
di modo che la tua superficie (almeno localmente) coincide col grafico della funzione [tex]$F(x,y):=\varphi^{-1} (x^2+y^2)$[/tex].
Che ne dici?
***
Esempio pratico:
Prendiamo [tex]$f(u):=\arccos u$[/tex], di modo che la superficie in considerazioni ha equazioni parametriche:
[tex]$\begin{cases} x=\arccos u\ \cos v\\ y=\arccos u\ \sin v\\ z= u \end{cases}$[/tex]
con [tex]$(u,v)\in [-1,1]\times [0,2\pi ]$[/tex].
Per quanto detto in precedenza l'equazione implicita della tua superficie è:
[tex]$x^2+y^2=\arccos^2 z$[/tex];
la funzione [tex]$\varphi (z):=\arccos^2 z$[/tex] è un'applicazione invertibile (perchè strettamente monotona) di [tex]$[-1,1]$[/tex] in [tex]$[0,\pi^2]$[/tex] e la sua inversa si trova risolvendo rispetto a [tex]$z$[/tex] l'equazione [tex]$t=\arccos^2 z$[/tex] (con [tex]$t\in [0,\pi^2]$[/tex]): essendo:
[tex]$t=\arccos^2 z \Leftrightarrow \sqrt{t} =\arccos z \Leftrightarrow z=\cos \sqrt{t}$[/tex],
si ha [tex]$\varphi^{-1} (t) =\cos \sqrt{t}$[/tex]; per quanto detto in precedenza, la tua superficie coincide col grafico della funzione
[tex]$F(x,y):=\cos \sqrt{x^2+y^2}$[/tex]
con [tex]$(x,y)$[/tex] soddisfacente la condizione [tex]$x^2+y^2=t\in [0,\pi^2]$[/tex]; visto che la condizione è soddisfatta solo se [tex]$(x,y)$[/tex] è un punto del cerchio chiuso di centro [tex]$(0,0)$[/tex] e raggio [tex]$\pi$[/tex], cioè se [tex]$\lvert (x,y)\rvert \leq \pi$[/tex], la tua superficie coincide col grafico di:
[tex]$F:\{ \lvert (x,y)\rvert \leq \pi \} \ni (x,y) \mapsto \cos \sqrt{x^2+y^2} \in \mathbb{R}$[/tex].
Grazie mille Gugo82! sei stato veloce, chiarissimo e sin troppo disponibile.
Faccio un esempio così mi dici cosa non ho capito. Se quindi
$y=-sqrt(2) z$ con $z in [-4,0]$ dopo averne fatto la rotazione intorno all'asse $Oz$ posso trovare le equazioni parametriche della superficie
$\{(x = -sqrt(2) u*cos(v)),(y = -sqrt(2) u *sin(v)),(z = u):}$ con $(u,v) in [-4,0]x[0,2\pi]$
elevo al quadrato le prime due equazioni e trovo:
$x^2 + y^2 =2u^2 = \phi(z) = 2z^2$
$=> t= 2z^2$
invertibile tra $[-4,0] in [??,??]$ qui sono un attimo in dubbio perché per la funzione $f=arccos(x)$ è facile vedere che per $t=arccos^2(z)$ avrà $t in [0, \pi^2]$... facendo analogamente mi verrebbe da dire che la mia funzione debba rispettare la condizione invertibile per $[-4,0]$ in $t in[0, 32]$
da cui si ricava $z= f(x,y)=sqrt([(x^2 + y^2)/2])$
e per quello che ho detto prima avrei $|(x,y)|<4sqrt(2)$
Grazie mille ancora gugo! anche per l'esempio sull'arcocoseno.
Buona giornata
Faccio un esempio così mi dici cosa non ho capito. Se quindi
$y=-sqrt(2) z$ con $z in [-4,0]$ dopo averne fatto la rotazione intorno all'asse $Oz$ posso trovare le equazioni parametriche della superficie
$\{(x = -sqrt(2) u*cos(v)),(y = -sqrt(2) u *sin(v)),(z = u):}$ con $(u,v) in [-4,0]x[0,2\pi]$
elevo al quadrato le prime due equazioni e trovo:
$x^2 + y^2 =2u^2 = \phi(z) = 2z^2$
$=> t= 2z^2$
invertibile tra $[-4,0] in [??,??]$ qui sono un attimo in dubbio perché per la funzione $f=arccos(x)$ è facile vedere che per $t=arccos^2(z)$ avrà $t in [0, \pi^2]$... facendo analogamente mi verrebbe da dire che la mia funzione debba rispettare la condizione invertibile per $[-4,0]$ in $t in[0, 32]$
da cui si ricava $z= f(x,y)=sqrt([(x^2 + y^2)/2])$
e per quello che ho detto prima avrei $|(x,y)|<4sqrt(2)$
Grazie mille ancora gugo! anche per l'esempio sull'arcocoseno.
Buona giornata
Esatto ebol.
Infatti l'applicazione [tex]$\varphi (z):=2z^2$[/tex] è continua e strettamente decrescente in [tex]$[-4,0]$[/tex] (il grafico è un pezzo di parabola!) quindi, per i teoremi sulle funzioni monotone, il teorema di Weierstrass ed il teorema dei valori intermedi, l'immagine di [tex]$[-4,0]$[/tex] è [tex]$[\min_{[-4,0]} \varphi ,\max_{[-4,0]} \varphi] =[\varphi (0), \varphi (-4)]=[0,32]$[/tex].
Infatti l'applicazione [tex]$\varphi (z):=2z^2$[/tex] è continua e strettamente decrescente in [tex]$[-4,0]$[/tex] (il grafico è un pezzo di parabola!) quindi, per i teoremi sulle funzioni monotone, il teorema di Weierstrass ed il teorema dei valori intermedi, l'immagine di [tex]$[-4,0]$[/tex] è [tex]$[\min_{[-4,0]} \varphi ,\max_{[-4,0]} \varphi] =[\varphi (0), \varphi (-4)]=[0,32]$[/tex].
Fantastico!!
Grazie per quest'ultima perla sul teorema di Weierstrass (uno dei tanti col suo nome XD), è sempre bello vedere la teoria che si lega all'esercizio.
Grazie mille di tutto, ti auguro un'ottima serata!
Ciao!
Grazie per quest'ultima perla sul teorema di Weierstrass (uno dei tanti col suo nome XD), è sempre bello vedere la teoria che si lega all'esercizio.
Grazie mille di tutto, ti auguro un'ottima serata!
Ciao!
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