Equazione di secondo ordine autonoma
Salve questo'oggi mi sono imbattuto in un equazione assai complicata..yy'' + (y')^2= y^2.. Io ho posto subito V=y' e dunque y''= V'V..dopodiché il tutto mi diventa (V'V)y + V^2= y^2 ma dopo questo mi blocco..qualcuno mi aiuta? Grazie 
Risposte
La posizione mi sembra intelligente, tuttavia sarebbe conveniente anche modificare la variabile indipendente. Posto $V=y'$, possiamo pensare a $V$ come funzione di $y$ (che a sua volta è funzione di $x$) e scrivere
$$y''=V'=\frac{dV}{dx}=\frac{dV}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=\dot{V}\cdot y'=\dot{V}\cdot V$$
avendo indicato con il punto le derivate rispetto a $y$ (ho usata la regola di derivazione delle unzioni composte). In tal modo l'equazione diventa
$$yV\dot{V}+V^2=y^2$$
che ora è una equazione nella incognita $V=V(y)$. Possiamo dividere per $yV$ ottenendo l'equazione
$$\dot{V}+\frac{1}{y}\ V=yV^{-1}$$
che è di Bernoulli. Tuttavia, studiamo prima le soluzioni singolari: avendo diviso per $yV\ne 0$, possiamo vedere se $y=0$ e $V=y'=0\ \Rightarrow\ y=c$ sono soluzioni, sostituendo nella prima. Si verifica subito che $y=0$ è una possibile soluzione singolare, mentre la seconda lo è solo se $c=0$. A questo punto risolviamo l'equazione generale. Ponendo $V=\sqrt{z}$ l'equazione si trasforma nella seguente
$$\dot{z}+\frac{2}{y}\ z=2y$$
Usando la regola per le soluzioni delle ODE lineari, posto $a(y)=2/y,\ b(y)=2y$ abbiamo
$$A(y)=\int a(y)\ dy=2\log|y|=\log y^2$$
$$\int b(y) e^{A(y)}\ dy=\int 2y\cdot y^2\ dy=\frac{y^4}{2}$$
da cui
$$z(y)=e^{-A(y)}\left[\int b(y)\ e^{A(y)}\ dy+c\right]=\frac{1}{y^2}\left[\frac{y^4}{2}+c\right]=\frac{1}{2y^2}\left[y^4+c\right]$$
Ne segue allora
$$V(y)=\sqrt{\frac{y^4+c}{2y^2}}$$
A questo punto per trovare la soluzione originale, dobbiamo andare a risolvere la seguente equazione a variabili separabili
$$y'=\sqrt{\frac{y^4+c}{2y^2}}\ \Rightarrow\ \int\sqrt{\frac{2y^2}{y^4+c}}\ dy=x+c_1$$
Ora, prima di andare avanti: la tua era una equazione o un problema di Cauchy? Perché nel secondo caso, possiamo determinare $c$ e semplificarci il lavoro, nel primo dobbiamo andare a risolvere tre integrali diversi a seconda che $c>,\ c=0,\ c<0$.
$$y''=V'=\frac{dV}{dx}=\frac{dV}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=\dot{V}\cdot y'=\dot{V}\cdot V$$
avendo indicato con il punto le derivate rispetto a $y$ (ho usata la regola di derivazione delle unzioni composte). In tal modo l'equazione diventa
$$yV\dot{V}+V^2=y^2$$
che ora è una equazione nella incognita $V=V(y)$. Possiamo dividere per $yV$ ottenendo l'equazione
$$\dot{V}+\frac{1}{y}\ V=yV^{-1}$$
che è di Bernoulli. Tuttavia, studiamo prima le soluzioni singolari: avendo diviso per $yV\ne 0$, possiamo vedere se $y=0$ e $V=y'=0\ \Rightarrow\ y=c$ sono soluzioni, sostituendo nella prima. Si verifica subito che $y=0$ è una possibile soluzione singolare, mentre la seconda lo è solo se $c=0$. A questo punto risolviamo l'equazione generale. Ponendo $V=\sqrt{z}$ l'equazione si trasforma nella seguente
$$\dot{z}+\frac{2}{y}\ z=2y$$
Usando la regola per le soluzioni delle ODE lineari, posto $a(y)=2/y,\ b(y)=2y$ abbiamo
$$A(y)=\int a(y)\ dy=2\log|y|=\log y^2$$
$$\int b(y) e^{A(y)}\ dy=\int 2y\cdot y^2\ dy=\frac{y^4}{2}$$
da cui
$$z(y)=e^{-A(y)}\left[\int b(y)\ e^{A(y)}\ dy+c\right]=\frac{1}{y^2}\left[\frac{y^4}{2}+c\right]=\frac{1}{2y^2}\left[y^4+c\right]$$
Ne segue allora
$$V(y)=\sqrt{\frac{y^4+c}{2y^2}}$$
A questo punto per trovare la soluzione originale, dobbiamo andare a risolvere la seguente equazione a variabili separabili
$$y'=\sqrt{\frac{y^4+c}{2y^2}}\ \Rightarrow\ \int\sqrt{\frac{2y^2}{y^4+c}}\ dy=x+c_1$$
Ora, prima di andare avanti: la tua era una equazione o un problema di Cauchy? Perché nel secondo caso, possiamo determinare $c$ e semplificarci il lavoro, nel primo dobbiamo andare a risolvere tre integrali diversi a seconda che $c>,\ c=0,\ c<0$.
Ok grazie perfetto! Era un problema di cauchy ed ho risolto! Grazie mille
Giusto per curiosità, mi dici le condizioni iniziali?
Y'(0)=0 e y(0) =0
Ma allora l'unica soluzione possibile è $y=0$, la si vede ad occhio.
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