Equazione di secondo grado in seno e coseno
Buongiorno a tutti, e grazie in anticipo per eventuali risposte!
Durante un esame di fisica, dopo alcuni passaggi, mi sono ritrovato a dover risolvere questa equazione:
$v^2*(senx)^2=2gd(tanx)-(g^2d^2)/(v^2(cosx)^2$ , dove $v,g$ e $d$ sono costanti note
Che diventa:
$v^4*(senx)^2*(cosx)^2=2v^2gd*senx*cosx-g^2d^2$
Ora, non so se sono io particolarmente stupido, o davvero non c'è un modo più semplice per risolverla, ma l'unico metodo che mi è venuto in mente è di procedere per sostituzione, sostituendo $senx*cosx = A$ e risolvendola come un'eq. di secondo grado!
Ottenuto $A$, risolvere nuovamente per sostituzione l'eq. $senx*cosx = A$, scrivendola nella forma $(cosx)^2-(cosx)^4 = A^2$, e sostituendo $(cosx)^2 = B$!
A questo punto però, oltre ad aver preso tantissimo tempo, che all'esame è fondamentale, non riesco a proseguire! O meglio, ottengo un risultato, che però è sbagliato!
Chiedo a voi se c'è un metodo più intelligente e veloce per risolverlo!
Grazie!
Durante un esame di fisica, dopo alcuni passaggi, mi sono ritrovato a dover risolvere questa equazione:
$v^2*(senx)^2=2gd(tanx)-(g^2d^2)/(v^2(cosx)^2$ , dove $v,g$ e $d$ sono costanti note
Che diventa:
$v^4*(senx)^2*(cosx)^2=2v^2gd*senx*cosx-g^2d^2$
Ora, non so se sono io particolarmente stupido, o davvero non c'è un modo più semplice per risolverla, ma l'unico metodo che mi è venuto in mente è di procedere per sostituzione, sostituendo $senx*cosx = A$ e risolvendola come un'eq. di secondo grado!
Ottenuto $A$, risolvere nuovamente per sostituzione l'eq. $senx*cosx = A$, scrivendola nella forma $(cosx)^2-(cosx)^4 = A^2$, e sostituendo $(cosx)^2 = B$!
A questo punto però, oltre ad aver preso tantissimo tempo, che all'esame è fondamentale, non riesco a proseguire! O meglio, ottengo un risultato, che però è sbagliato!
Chiedo a voi se c'è un metodo più intelligente e veloce per risolverlo!
Grazie!
Risposte
Non saprei quanto ti possa essere utile ma ricorda che $2sin(x)cos(x)=sin(2x)$ quindi $sin(2x)=2A$
Ti ringrazio tantissimo per la risposta!
Ho provato a vedere se riuscivo a risolverla in qualche modo così, ma dopo la sostituzione ottengo lo stesso risultato, ovvero un'eq. di secondo grado in $A$, che poi mi porta a quella in $B$!
Più che altro mi chiedevo se ci fosse un metodo diverso da quello per sostituzione, che comunuqe, mi ha portato a dei risultati sbagliati!
Ho provato a vedere se riuscivo a risolverla in qualche modo così, ma dopo la sostituzione ottengo lo stesso risultato, ovvero un'eq. di secondo grado in $A$, che poi mi porta a quella in $B$!
Più che altro mi chiedevo se ci fosse un metodo diverso da quello per sostituzione, che comunuqe, mi ha portato a dei risultati sbagliati!
Per la verità, non intendevo la sostituzione all'inizio ma dopo aver risolto l'equazione di secondo grado cioè devi risolvere solo $sin(2x)=2A$
Ah, ma certo, hai ragione, scusa, non ci ero arrivato subito!
Si, ho provato, non ho il risultato esatto, però la soluzione è coerente con gli altri dati del problema!
Peccato che mi sia capitata all'esame, queste formule trigonometriche non le ricorderò mai!
Ti ringrazio moltissimo per la risposta!
Si, ho provato, non ho il risultato esatto, però la soluzione è coerente con gli altri dati del problema!
Peccato che mi sia capitata all'esame, queste formule trigonometriche non le ricorderò mai!
Ti ringrazio moltissimo per la risposta!
Ciao lorenzo180596,
Benvenuto sul forum!
Sei sicuro della correttezza dell'equazione? Te lo chiedo perché così a naso mi sembra vagamente l'equazione del moto di un proiettile sparato a velocità iniziale $v$ con alzo $x$, ma potrei sbagliarmi, anche perché me la ricordavo diversa...
Magari se riesci a postare il problema di fisica originario ti si può aiutare meglio...
Benvenuto sul forum!
"lorenzo180596":
Durante un esame di fisica, dopo alcuni passaggi, mi sono ritrovato a dover risolvere questa equazione
Sei sicuro della correttezza dell'equazione? Te lo chiedo perché così a naso mi sembra vagamente l'equazione del moto di un proiettile sparato a velocità iniziale $v$ con alzo $x$, ma potrei sbagliarmi, anche perché me la ricordavo diversa...
Magari se riesci a postare il problema di fisica originario ti si può aiutare meglio...
Sì, esatto, il problema è proprio di quel tipo!
L'equazione dovrebbe essere corretta, l'avevo fatta più volte, già a suo tempo, e ritrovavo sempre lo stesso problema!
Il testo è il seguente, sperando si possano postare immagini:
L'equazione dovrebbe essere corretta, l'avevo fatta più volte, già a suo tempo, e ritrovavo sempre lo stesso problema!
Il testo è il seguente, sperando si possano postare immagini:
"lorenzo180596":
Il testo è il seguente, sperando si possano postare immagini
In realtà no, ma essendo i tuoi primi messaggi confidiamo nell'indulgenza dei moderatori...
Ho letto il problema e mi pare tu ti sia complicato un bel po' la vita... Da dove ricavi l'equazione che hai proposto? Farei così: fissato un piano di riferimento cartesiano $xOy$ avente come origine $O$ il punto da dove origina il vettore velocità iniziale di modulo $v_0$, la traiettoria del proiettile è descritta dalla parabola di equazione
$y = - ax^2 + bx = x(- ax + b) $
ove $a := frac{g}{2v_0^2 cos^2\theta} $ e $b := tan\theta $. Tale parabola interseca l'asse $x$ in $x = 0$ e in $x_G = frac{2v_0^2 sin \theta cos\ theta}{g} = frac{v_0^2 sin (2\theta)}{g} $ (ove il pedice $G$ sta per Gittata). Dal testo del problema e dato che il moto parabolico è simmetrico rispetto all'asse passante per il vertice $V(x_V, y_V) $ della parabola e parallelo all'asse $y$ (proprietà della parabola), l'ascissa $x_G$ è pari a due volte l'ascissa del vertice della parabola $x_V = d$, ovvero il doppio dell'ascissa del punto di massima altezza. Dunque si ha:
$x_V = d = frac{1}{2} x_G = frac{v_0^2 sin (2\theta)}{2g} \implies sin (2\theta) = frac{2dg}{v_0^2} \implies \theta = frac{1}{2}arcsin(frac{2dg}{v_0^2}) $
Introducendo i valori forniti dal testo del problema si ricava facilmente $\theta $. Sostituendo poi $x_V = d = frac{v_0^2 sin (2\theta)}{2g} = frac{v_0^2 sin \theta cos \theta}{g}$ nell'equazione della parabola esplicitata precedentemente, si può determinare facilmente $y_V = h $.
Sinceramente non mi sembra tanto tanto più semplice di quella ...
La "sua" equazione di secondo grado si risolve "a occhio" (il discriminante è nullo quindi la soluzione è $A=(gd)/v^2$), a quel punto calcoli l'angolo così $sin(2x)=2A$.
Cordialmente, Alex
La "sua" equazione di secondo grado si risolve "a occhio" (il discriminante è nullo quindi la soluzione è $A=(gd)/v^2$), a quel punto calcoli l'angolo così $sin(2x)=2A$.
Cordialmente, Alex
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