Equazione di secondo grado in $CC$
Salve a tutti..
Stavo guardando il mio eserciziario di analisi e mi sono soffermata su un esercizio risolto.. Esattamente il seguente
Risolvere l'equazione $x^2+(3-2i)x+5-i=0$
niente di sconvolgente insomma.. Inizio applicando la formula classica risolutiva, ossia $x= [-b + sqrt(b^2-4ac)]/(2a)$ e ottengo
$x= [-3+2i+sqrt((3-2i)^2-4(5-i))]/2 = [-3+2i+sqrt(-15-8i)]/2$ Adesso procedo calcolando le radici quadrate del numero $-15-8i$ scrivendo prima il numero complesso in forma trigonometrica e ottengo che $\rho=17$ e quindi il $cos\theta=-15/17$ e il $sen\theta=-8/17$.. Cercando di calcolare $\theta$ tramite l'arcocoseno e l'arcoseno ottengo 2 valori distinti... Quì mi blocco... Dove sbaglio?
Grazie a tutti per le future risposte...
Stavo guardando il mio eserciziario di analisi e mi sono soffermata su un esercizio risolto.. Esattamente il seguente
Risolvere l'equazione $x^2+(3-2i)x+5-i=0$
niente di sconvolgente insomma.. Inizio applicando la formula classica risolutiva, ossia $x= [-b + sqrt(b^2-4ac)]/(2a)$ e ottengo
$x= [-3+2i+sqrt((3-2i)^2-4(5-i))]/2 = [-3+2i+sqrt(-15-8i)]/2$ Adesso procedo calcolando le radici quadrate del numero $-15-8i$ scrivendo prima il numero complesso in forma trigonometrica e ottengo che $\rho=17$ e quindi il $cos\theta=-15/17$ e il $sen\theta=-8/17$.. Cercando di calcolare $\theta$ tramite l'arcocoseno e l'arcoseno ottengo 2 valori distinti... Quì mi blocco... Dove sbaglio?
Grazie a tutti per le future risposte...
Risposte
Come ottieni due valori distinti? Non è che stai usando la calcolatrice? In questo caso, oltre a non essere comunque una risoluzione valida, ottieni angoli riferiti a diversi quadranti.
Inoltre, ti serve calcolare [tex]\theta[/tex]?
E ancora, prima di lanciarti nell'uso della formula generale, controlla che il termine sotto radice non sia un quadrato notevole, per esempio nel caso specifico puoi notare che [tex](4+i)^2=15+8i[/tex].
Inoltre, ti serve calcolare [tex]\theta[/tex]?
E ancora, prima di lanciarti nell'uso della formula generale, controlla che il termine sotto radice non sia un quadrato notevole, per esempio nel caso specifico puoi notare che [tex](4+i)^2=15+8i[/tex].
Si ho fatto con la calcolatrice (che sciocca 
)... Il problema di ricondurmi a un quadrato notevole onestamente non lo capisco... In $CC$ comunque non si può semplificare l'esponente della potenza con la radice, quindi dato che non so altri metodi, mi verrebbe di svolgere il quadrato e mi ritroverei alla situazione di partenza... Mi sfugge qualche regola per caso?
Grazie!
)... Il problema di ricondurmi a un quadrato notevole onestamente non lo capisco... In $CC$ comunque non si può semplificare l'esponente della potenza con la radice, quindi dato che non so altri metodi, mi verrebbe di svolgere il quadrato e mi ritroverei alla situazione di partenza... Mi sfugge qualche regola per caso? Grazie!
Considerando con i segni, [tex]\sqrt{-(4+i)^2}= \pm i(4+i)=\pm(4i-1)[/tex]. In realtà in questa notazione c'è un'ambiguità sull'uso del simbolo di radice, ed ho saltato qualche passaggio elementare nell'esplicitare i prodotti, il doppio segno di ciascun fattore e la loro ricomposizione, ma credo sia chiaro il significato. Se dubiti della legittimità in [tex]\mathbb{C}[/tex] di un simile passaggio, eleva al quadrato entrambi i risultati per verificare che ti diano il valore di partenza.
Se ti rende perplessa estrarre radici quadrate con doppio segno in campo complesso, ricorda che [tex]e^{i\pi}=-1[/tex].
Se ti rende perplessa estrarre radici quadrate con doppio segno in campo complesso, ricorda che [tex]e^{i\pi}=-1[/tex].
Praticamente hai sostituito $sqrt(-1)$ con $+-i$ e tolto quindi il quadrato del termine perchè non è sotto radice?
Ti dirò, con la forma esponenziale dei numeri complessi ancora non ho fatto molta amicizia, nei libri viene poco trattata, almeno in quelli che ho io....
Ti dirò, con la forma esponenziale dei numeri complessi ancora non ho fatto molta amicizia, nei libri viene poco trattata, almeno in quelli che ho io....
Praticamente si. I passaggi in dettaglio (ma raramente nella risoluzione di un esercizio vengono esplicitati tutti) sarebbero, supponendo di indicare con il simbolo [tex]\sqrt{}[/tex] la radice algebrica:
[tex]\sqrt{-(4+i)^2}=\sqrt{(-1)*(4+i)^2}=\sqrt{(-1)}*\sqrt{(4+i)^2}=[\pm i]*[\pm (4+i)]=\pm i(4+i)[/tex]
In ogni caso, anche se non fosse stato possibile ricondursi ad un quadrato perfetto, noti [tex]\sin\theta[/tex] e [tex]\cos\theta[/tex] non sarebbe stato necessario calcolare [tex]\theta[/tex] (ma quando è un valore notevole conviene farlo). Se [tex]z=\rho e^{i\theta}[/tex], le sue radici quadrate sono [tex]z^{1/2}=\sqrt{\rho} e^{i\theta/2 + ik\pi}=\pm\sqrt{\rho} e^{i\theta/2}=\pm\sqrt{\rho}(\cos{\theta/2}+i\sin{\theta/2})[/tex] [tex](k=0,1)[/tex] (in questo caso [tex]\sqrt{}[/tex] indica invece la radice aritmetica, e qui risiede l'ambiguità dell'uso del simbolo cui accennavo in precedenza: in genere con il simbolo di radice si intende quella principale, per indicare l'insieme dei valori si preferisce usare l'esponente inverso, ma si possono trovare usi diversi, specie su testi di fisica). Le funzioni trigonometriche coinvolte sono calcolabili con le formule di bisezione. Tuttavia un calcolo che si spinga così nella trigonometria mi risulta insolito per un compito, anche se non posso escludere che qualche professore possa richiederlo; ma se si arriva a questo punto, o a dover usare la calcolatrice, conviene chiedersi se non si è omessa qualche via più semplice.
[tex]\sqrt{-(4+i)^2}=\sqrt{(-1)*(4+i)^2}=\sqrt{(-1)}*\sqrt{(4+i)^2}=[\pm i]*[\pm (4+i)]=\pm i(4+i)[/tex]
In ogni caso, anche se non fosse stato possibile ricondursi ad un quadrato perfetto, noti [tex]\sin\theta[/tex] e [tex]\cos\theta[/tex] non sarebbe stato necessario calcolare [tex]\theta[/tex] (ma quando è un valore notevole conviene farlo). Se [tex]z=\rho e^{i\theta}[/tex], le sue radici quadrate sono [tex]z^{1/2}=\sqrt{\rho} e^{i\theta/2 + ik\pi}=\pm\sqrt{\rho} e^{i\theta/2}=\pm\sqrt{\rho}(\cos{\theta/2}+i\sin{\theta/2})[/tex] [tex](k=0,1)[/tex] (in questo caso [tex]\sqrt{}[/tex] indica invece la radice aritmetica, e qui risiede l'ambiguità dell'uso del simbolo cui accennavo in precedenza: in genere con il simbolo di radice si intende quella principale, per indicare l'insieme dei valori si preferisce usare l'esponente inverso, ma si possono trovare usi diversi, specie su testi di fisica). Le funzioni trigonometriche coinvolte sono calcolabili con le formule di bisezione. Tuttavia un calcolo che si spinga così nella trigonometria mi risulta insolito per un compito, anche se non posso escludere che qualche professore possa richiederlo; ma se si arriva a questo punto, o a dover usare la calcolatrice, conviene chiedersi se non si è omessa qualche via più semplice.
"Cmax":
Tuttavia un calcolo che si spinga così nella trigonometria mi risulta insolito per un compito, anche se non posso escludere che qualche professore possa richiederlo; ma se si arriva a questo punto, o a dover usare la calcolatrice, conviene chiedersi se non si è omessa qualche via più semplice.
Si infatti di solito ho sempre adoperato le formule classiche della trigonometria e dal valore ottenuto dal seno e dal coseno poi calcolavo l'angolo (es. se $sen\theta=0$ e $cos\theta=-1$ è ovvio che $\theta=\pi$).. In questo caso non sapevo come fare perchè pur pensando a sostituire $sqrt(-1)=+-i$ il fatto che non si poteva semplificare l'esponente con la radice non mi faceva passare alla fase successiva....
Comunque adesso mi è tutto chiaro, grazie mille!
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