Equazione di secondo grado a coefficienti complessi

[Domodossola1]

Salve mi stavo esercitando sulle equazioni di secondo grado a coefficienti complessi ed ho trovato difficolta in questo esercizio:
\(\displaystyle
iz^2+2z-2=0 \)
ho utilizzato la forma trigonometrica dato che sotto la radice mi viene 1+2i, ma per trovare l'argomento mi viene \(\displaystyle cos \theta=\frac{\sqrt{5}}{5}\) e mi risulta un po' difficile trovare l'angolo..mi potreste aiutare voi gentilmente?? Grazie

[ciampax]

Quando bisogna calcolare le radici quadrate, puoi procedere agevolemnte anche per via algebrica. Il discriminante dell'equazione è $\Delta=4(1+2i)$, per cui quello che devi calcolare è la radice quadrata di $1+2i$. Ora, questo equivale a cercare un numero complesso $w=a+ib$ tale che $w^2=1+2i$ o, scritto esplicitamente $a^2-b^2+2iab=1+2i$ e quindi

$a^2-b^2=1,\ 2ab=2$

Dalla seconda ricavi $b=1/a$ che sostituito nella prima porta, dopo un po' di calcoli, all'equazione $a^4-a^2-1=0$ la quale ammette come soluzioni $a=\pm\sqrt{{1\pm\sqrt{5}}/2}$ Dal momento che $a$ deve essere reale, le uniche soluzioni accettabili sono $a=\pm\sqrt{{1+\sqrt{5}}/2}$ da cui si ricava

$b=\pm\sqrt{ 2/{1+\sqrt{5}}}=\pm\sqrt{{2(1-\sqrt{5})}/{1-5}}=\pm\sqrt{{\sqrt{5}-1}/2}$

e quindi i due valori

$w=\pm(\sqrt{{1+\sqrt{5}}/2} +i\sqrt{{\sqrt{5}-1}/2})$

Pertanto le soluzioni dell'equazione risultano

$z={-2\pm(\sqrt{{1+\sqrt{5}}/2} +i\sqrt{{\sqrt{5}-1}/2})}/{2i}$

[Domodossola1]

grazies ne ho un altro che non mi viene, vedo se sia dovuto allo stesso motivo grazie ancora

[ciampax]

Prego.

[Domodossola1]

Scusa ciampax stavo rifacendo l'esercizio e ho visto che sul libro viene \(\displaystyle \pm\frac{\sqrt[4]{5}}{2}+i(1\pm\sqrt[4]{5}\frac{\sqrt{3}}{2}) \) come mai?

[ciampax]

Ah non lo so: quella che hai scritto tu non è soluzione della tua equazione. Provare per credere.