Equazione di Riccati: $ y' = -y^2 + x $
Non conosco una soluzione particolare per risolvere l'equazione suddetta..
qualcuno sa indicarmi uan soluzione particolare o l'unica via di soluzione che mi resta è l'iterazione di Picard (so che y(0) = 2) ?
qualcuno sa indicarmi uan soluzione particolare o l'unica via di soluzione che mi resta è l'iterazione di Picard (so che y(0) = 2) ?
Risposte
Sostituisci $y(x)=(z'(x))/(z(x))$ e fammi sapere che ne esce.
Ovviamente devi supporre che $z$ sia non nulla e di classe $C^2$ affinché tutto funzioni.
*** EDIT: corretto un segno malefico...
Ovviamente devi supporre che $z$ sia non nulla e di classe $C^2$ affinché tutto funzioni.
*** EDIT: corretto un segno malefico...
Senza il $-$ ! 
Hai ragione... Mi sono appena reso conto di aver sbagliato il conticino! 
E comunque non è che si risolva un granché: l'integrale non mi pare una funzione elementare...
Ad ogni modo, riporto il conto: fatta la sostituzione e calcolato che $y'=("d")/("d"x)[(z')/z]=(z'')/z-(z')^2/z^2$, l'equazione diviene:
$z''-xz=0 \quad$;
visto che è assegnata la condizione iniziale $y(0)=2$, dalla sostituzione fatta discende:
$z'(0)=2z(0) \quad$.
Quindi si tratterebbe di risolvere:
(PA) $\quad \{ (z''-xz=0),(z'(0)-2z(0)=0):}$
che non ha soluzione elementare secondo me (e secondo Mathematica).
Tuttavia le soluzioni di (PA) sono analitiche e ci si può divertire a trovare delle formule ricorrenti per determinarne i coefficienti; lascio il giochino a chi è interessato.
E comunque non è che si risolva un granché: l'integrale non mi pare una funzione elementare...
Ad ogni modo, riporto il conto: fatta la sostituzione e calcolato che $y'=("d")/("d"x)[(z')/z]=(z'')/z-(z')^2/z^2$, l'equazione diviene:
$z''-xz=0 \quad$;
visto che è assegnata la condizione iniziale $y(0)=2$, dalla sostituzione fatta discende:
$z'(0)=2z(0) \quad$.
Quindi si tratterebbe di risolvere:
(PA) $\quad \{ (z''-xz=0),(z'(0)-2z(0)=0):}$
che non ha soluzione elementare secondo me (e secondo Mathematica
).Tuttavia le soluzioni di (PA) sono analitiche e ci si può divertire a trovare delle formule ricorrenti per determinarne i coefficienti; lascio il giochino a chi è interessato.
http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0106.pdf
http://mathworld.wolfram.com/RiccatiDifferentialEquation.html
Nota la condizione di risolvibilità elementare per l'eq. (3) riportata nel link Wolfram.
http://mathworld.wolfram.com/RiccatiDifferentialEquation.html
Nota la condizione di risolvibilità elementare per l'eq. (3) riportata nel link Wolfram.
"Cmax":
http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0106.pdf
http://mathworld.wolfram.com/RiccatiDifferentialEquation.html
Nota la condizione di risolvibilità elementare per l'eq. (3) riportata nel link Wolfram.
Non per dire una cosa banale, ma in questo caso $a=-1,\ b=1$ e quindi $\sqrt{ab}=\sqrt{-1}=i$ !
Mi sembra un po' una cavolata cercare di risolvere questa equazione Reale con una soluzione a coefficienti complessi!
"ciampax":
Mi sembra un po' una cavolata cercare di risolvere questa equazione Reale con una soluzione a coefficienti complessi!
In che senso?
"Gugo82":
[quote="ciampax"]Mi sembra un po' una cavolata cercare di risolvere questa equazione Reale con una soluzione a coefficienti complessi!
In che senso?[/quote]
Il primo link dà una formula risolutiva in termini di funzioni di Bessel calcolate rispetto alla variabile $\sqrt{ab}\ x$, dove $a,b$ sono i coefficienti del quadrato di $y$ e della potenza di $x$. Se vai a sostituire il caso in questione viene una dipendenza dalla variabile $i x$. Io non mi metterei a risolvere un problema differenziale con dati reali tramite una funzione che, coì, risulterebbe complessa! Poi, de gustibus!
Probabilmente la soluzione verrebbe lo stesso reale (anche perchè per il Teorema di Esistenza ed Unicità la soluzione esiste; anzi essa è addirittura analitica in $0$).
Tuttavia, a questo punto tanto vale prendere lo sviluppo in serie di $y(x)$ intorno a $0$, buttarlo nell'equazione iniziale e vedere che ne esce.
Tuttavia, a questo punto tanto vale prendere lo sviluppo in serie di $y(x)$ intorno a $0$, buttarlo nell'equazione iniziale e vedere che ne esce.
Infatti era quello che avevo pensato anche io.... per mancanza di tempo, non l'ho scritto.... ma rimedio subito!
Se supponiamo che $z(x)=\sum_{k=0}^\infty a_k x^k$, derivando si ha
$z'(x)=\sum_{k=1}^\infty k a_k x^{k-1}$, e $z''(x)=\sum_{k=2} k(k-1) a_{k} x^{k-2}$
e quindi nella trasformazione che suggeriva Gugo
$0=z''-x z=\sum_{k=2} k(k-1) a_{k} x^{k-2}-x \sum_{k=0}^\infty a_k x^k=\sum_{h=0} (h+2)(h+1) a_{h+2} x^{h}-\sum_{h=1}^\infty a_{h-1} x^h$
da cui eguagliando i termini con le stesse potenze di $x$
$2a_2=0,\quad (h+2)(h+1) a_{h+2}-a_{h-1}=0$.
Posto $a_0=A$, $a_1=B$ abbiamo
$a_2=0,\ a_3=A/{3*2},\ a_4=B/{4*3},\ a_5=0,\ a_6=A/{6*5*3*2},\ a_7=B/{7*6*4*3},\ a_8=0,\ldots $
e quindi, se non dico sciocchezze,
$a_{3k}=A/{(3k)!}\cdot \prod_{N=1}^{k}(3k-2^{N})$, $a_{3k+1}=A/{(3k+1)!}\cdot \prod_{N=1}^{k}(3k+1-2^{N})$, $a_{3k+2}=0$.
A questo punto potresti calcolare i coefficienti $A,B$ con le condizioni iniziali (dovrebbe venire che uno dipende dall'altro e poi.... te lo fai!
P.S.: riguardo alla cosa che dicevo prima, sì, la soluzione è unica e quindi sarà reale... ma secondo me passare attraverso la funzione di Bessel e poi cercare di riscrivere tutto il pastrocchio che viene in forma reale, ti porta al suicidio! Non che questo metodo sia più leggere!
Se supponiamo che $z(x)=\sum_{k=0}^\infty a_k x^k$, derivando si ha
$z'(x)=\sum_{k=1}^\infty k a_k x^{k-1}$, e $z''(x)=\sum_{k=2} k(k-1) a_{k} x^{k-2}$
e quindi nella trasformazione che suggeriva Gugo
$0=z''-x z=\sum_{k=2} k(k-1) a_{k} x^{k-2}-x \sum_{k=0}^\infty a_k x^k=\sum_{h=0} (h+2)(h+1) a_{h+2} x^{h}-\sum_{h=1}^\infty a_{h-1} x^h$
da cui eguagliando i termini con le stesse potenze di $x$
$2a_2=0,\quad (h+2)(h+1) a_{h+2}-a_{h-1}=0$.
Posto $a_0=A$, $a_1=B$ abbiamo
$a_2=0,\ a_3=A/{3*2},\ a_4=B/{4*3},\ a_5=0,\ a_6=A/{6*5*3*2},\ a_7=B/{7*6*4*3},\ a_8=0,\ldots $
e quindi, se non dico sciocchezze,
$a_{3k}=A/{(3k)!}\cdot \prod_{N=1}^{k}(3k-2^{N})$, $a_{3k+1}=A/{(3k+1)!}\cdot \prod_{N=1}^{k}(3k+1-2^{N})$, $a_{3k+2}=0$.
A questo punto potresti calcolare i coefficienti $A,B$ con le condizioni iniziali (dovrebbe venire che uno dipende dall'altro e poi.... te lo fai!
P.S.: riguardo alla cosa che dicevo prima, sì, la soluzione è unica e quindi sarà reale... ma secondo me passare attraverso la funzione di Bessel e poi cercare di riscrivere tutto il pastrocchio che viene in forma reale, ti porta al suicidio! Non che questo metodo sia più leggere!
Mmm quei coefficienti... sei sicuro?
A me venivano (aspè che recupero il foglio di ieri notte):
$\{(a_(3k)=a_0/(3^k*k!)*\prod_(j=1)^k 1/(3j-1)),(a_(3k+1)=a_0/(3^k*k!)*\prod_(j=1)^k 1/(3j+1)),(a_(3k+2)=0):} \quad \quad " con "k\in NN$
dove $a_0$ è una costante arbitraria.
A me venivano (aspè che recupero il foglio di ieri notte
):$\{(a_(3k)=a_0/(3^k*k!)*\prod_(j=1)^k 1/(3j-1)),(a_(3k+1)=a_0/(3^k*k!)*\prod_(j=1)^k 1/(3j+1)),(a_(3k+2)=0):} \quad \quad " con "k\in NN$
dove $a_0$ è una costante arbitraria.
Possibile Gugo che siano gli stessi. Io non ho sostituito la condizione iniziale prima. Forse così veniva più semplice!
Mah, a suo tempo la formulazione di soluzioni tramite funzioni di Bessel di argomento complesso non era insolito (ma in genere problemi incontrati a livello di laboratorio teorico o tesi, e non in un compito d'esame), perchè erano disponibili librerie FORTRAN che trattavano queste ultime abbastanza agevolmente. Certo non so se è praticabile nell'ambito in cui è scappata fuori l'equazione.
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