Equazione di numeri complessi

[ifiore93]

Scusate il disturbo ma vorrei un aiuto nello svolgere tale equazione:

$[(z-i)/(z+i)]^3=-i$

Ho provato ad applicare la formula per calcolare le n radici:

$-i=1[cos (3π/2)+i sin (3π/2)]$

Ma non riesco a capire quando devo sostituire la radice terza di -i e in base a quale criterio mi calcolo k.
Grazie in anticipo

[totissimus]

\( \displaystyle \left(\frac{z-i}{z+i}\right)^{3}=-i\)

\( \displaystyle \left(\frac{z-i}{z+i}\right)^{3}=i^3\)

\( \displaystyle \left(z-i\right)^{3}=(iz-1)^{3}\)


\( \displaystyle \left(z-i\right)^{3}-(iz-1)^{3}=0\)

\( \displaystyle \left(z-i-iz+1\right)\left[\left(z-i\right)^{2}+(z-i)(iz-1)+(iz-1)^{2})\right]\)

Dopo tutte le semplificazioni e raccoglimenti dovresti ottenere

\( \displaystyle i\left(1-i\right)(z+1)(z^{2}-4z+1)=0\)

Il resto è facile.

[ifiore93]

Vorrei proporre il metodo con cui spero sono riuscito a svolgere l'esercizio.Spero che mi possiate aiutare a capire se il tutto è giusto.
Allora ho posto $w=[(z-i)/(z+1)]$
Ottengo $w^3=-i$
Il modulo di -i è 1
Attraverso la formula polare ho trovato l'angolo che è -pgreco/2
Quindi k=0,k=1,k=2
Quindi ho riscontrato:
Radice cubica di -i per k=0: -radice di 3/2-i 1/2
Radice cubica di -i per k=1: 0+i
Radice cubica di -i per k=2: radice di 3/2+i 1/2
Fin qui è giusto?