Equazione di Laplace in coordinate polari.
Ciao di nuovo!
Consideriamo il problema di Laplace:
\(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0\).
Trasformato in coordinate polari viene:
\(\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}=0\)
Nella soluzione il professore trasforma in (omette la derivata parziale prima):
\(\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}=0\)
e risolve a variabili separabili.
Le condizioni sono: \(r\ge R > 0\) e \(u(r,\theta)\) ivi limitata; \(u(R,\theta)=\sin(\sqrt{6}\theta+\pi/4)\).
C'è qualcosa che mi sfugge? Risolvendola con la mia trasformazione le costanti della soluzione sono intere e non e possibile imporre quelle condizioni iniziali.
Consideriamo il problema di Laplace:
\(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0\).
Trasformato in coordinate polari viene:
\(\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}=0\)
Nella soluzione il professore trasforma in (omette la derivata parziale prima):
\(\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}=0\)
e risolve a variabili separabili.
Le condizioni sono: \(r\ge R > 0\) e \(u(r,\theta)\) ivi limitata; \(u(R,\theta)=\sin(\sqrt{6}\theta+\pi/4)\).
C'è qualcosa che mi sfugge? Risolvendola con la mia trasformazione le costanti della soluzione sono intere e non e possibile imporre quelle condizioni iniziali.
Risposte
"Nella soluzione" di cosa?
Qual è il problema originario?
Qual è il problema originario?
Il problema è risolvere l'equazione di Laplace nel piano dopo averla trasformata in coordinate polari con le condizioni che ho scritto nel post.
Ho la soluzione del problema ma non capisco per quale motivo il professore risolve omettendo il termine \(\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}\).
Ho la soluzione del problema ma non capisco per quale motivo il professore risolve omettendo il termine \(\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}\).
Sinceramente, allora, non me lo spiego nemmeno io... Probabilmente si tratta di una distrazione.
Il tuo testo di riferimento che dice in proposito?
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