Equazione di Laplace

[ing.pietro]

ciao a tutti, non riesco a risovere questa cosa:

la funzione f(x,y) deve soddisfare l'equazione di laplace $\nabla^2$ f(x,y)=0

come faccio a scrivere l'equazione di laplace non in cordinate cartesiane ma in cordinate polari

[ing.pietro]

per essere più chiaro devo trasformare l'equazione in coordinate cartesiane

$(delf)^2/(delx)^2$ + $(delf)^2/(dely)^2$ = 0


in

$1/r$ $(del)/(delr)$ (r $(delf)/(delx)$ ) + $1/r^2$ $(delf)^2/(del$\theta$)^2$ = 0

ma non riesco ad ottenerla .. qualcuno mi può aiutare a trovare questa espressione

grazie

[ing.pietro]

il termine che non si legge è la derivate seconda di "f" fatta rispetto a teta ..scusate ma sto imparando con e formule

[Lord K]

Osserviamo che:

$nabla^2 f(x,y) = (del^2 f)/(del x^2) +(del^2 f)/(del y^2) = 0$

Se abbiamo la trasformazione in coordinate polari:

$T:={(rho = sqrt(x^2+y^2)),(phi = arctg(y/x)):}$

Ricordiamo che:

$nabla f(rho,phi) = ((del rho)/(del x)(del f)/(del rho)+(del phi)/(del x)(del f)/(del phi))e_x + ((del rho)/(del y)(del f)/(del rho)+(del phi)/(del y)(del f)/(del phi))e_y$

e quindi con qualche conto:

$nabla f(rho,phi) = (del f)/(del rho)e_rho + 1/rho (del f)/(del phi)e_phi$

ora il Laplaciano è determinato dalla divergenza del gradiente di $f$:

$nabla^2f(rho, phi) = nabla*nabla f(rho, phi)$

prova in questa maniera e dovresti arrivare al punto!

[ing.pietro]

ci provo grazie