Equazione di Lapalce
Salve a tutti !
Dovrei dimostrare che la soluzione dell'equazione di Laplace è unica, utilizzando questa relazione (che sinceramente non so da dove esce fuori ):
\( \iint_{D}^\, u\bigtriangledown ^2 u=\iint_{D}\, \frac{\partial^{}}{\partial x} (u\frac{\partial^{}u}{\partial x} )+\frac{\partial^{}}{\partial y} (u\frac{\partial^{}u}{\partial y} )-\iint_{D}\, \mid grad u\mid ^2 \)
ho iniziato a procedere per assurdo.. considerando che esistono due soluzioni u1 e u2 diverse tra loro.
Forse mi sto perdendo in una cosa banale..
Confido nel vostro aiuto
Buona giornata !
Dovrei dimostrare che la soluzione dell'equazione di Laplace è unica, utilizzando questa relazione (che sinceramente non so da dove esce fuori ):
\( \iint_{D}^\, u\bigtriangledown ^2 u=\iint_{D}\, \frac{\partial^{}}{\partial x} (u\frac{\partial^{}u}{\partial x} )+\frac{\partial^{}}{\partial y} (u\frac{\partial^{}u}{\partial y} )-\iint_{D}\, \mid grad u\mid ^2 \)
ho iniziato a procedere per assurdo.. considerando che esistono due soluzioni u1 e u2 diverse tra loro.
Forse mi sto perdendo in una cosa banale..
Confido nel vostro aiuto
Buona giornata !
Risposte
Innanzitutto, non è assolutamente vero che la soluzione dell'equazione di Laplace è unica... Ad esempio, le funzioni:
\[
u(x,y):=x\qquad \text{e}\qquad v(x,y):=y
\]
sono soluzioni di \(\Delta f=0\), e però sono ben diverse!
Per ottenere unicità, devi aggiungere qualcos'altro all'equazione... Cosa?
\[
u(x,y):=x\qquad \text{e}\qquad v(x,y):=y
\]
sono soluzioni di \(\Delta f=0\), e però sono ben diverse!
Per ottenere unicità, devi aggiungere qualcos'altro all'equazione... Cosa?
si hai ragione... non ho specificato le condizioni al contorno; il mio problema principale è proprio passare dal primo integrale a quello dopo l'uguale...
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