Equazione di grado superiore al secondo

[sanjoe_pro]

Salve a tutti, avrei bisogno di un aiuto con questo esercizio:

Dimostrare che l'equazione x^6 - 6x + 3 = 0 ha esattamente due radici reali.
Elencare tutti e dimostrare almeno un teorema utilizzato.

Grazie in anticipo.

[theras]

Ciao,e benvenuto/a in questo Forum:
puoi farci capire cosa hai provato a fare per svolgere l'esercizio?
Hai provato a tracciare il grafico della funzione al I° membro della tua equazione?
Facci sapere:
saluti dal web.

[sanjoe_pro]

Grazie della risposta, non so da dove partire perchè il Prof. Analisi 1 non ha mai fatto esercizi simili.
A presto.

[theras]

Ed allora parti proprio da quel grafico:
non è regola,davanti ad equazioni del tipo $f(x)=0$(con $f$ funzione non per forza polinomiale..),
ma spesso il farlo dà utili indicazioni ..
Saluti dal web.

[sanjoe_pro]

si ho già provato a farlo, il Prof. aveva accennato qualcosa sul calcolo differenziale.

[Plepp]

Prova a sfruttare le informazioni che ti dà la derivata prima

[sanjoe_pro]

Nulla questo esercizio non sa da fare -sad

[Plepp]

S'ha da fare, s'ha da fare

Prova a far così: la derivata prima di $f(x):=x^6-6x+3$ è $f'(x)=6x^5-6$, ed evidentemente è positiva se e solo se $x>1$ (negativa se e solo se $x<1$). In $x=1$ hai un minimo assoluto, e valutata in quel punto $f$ dà $-2$. Continui tu? Su

[sanjoe_pro]

si capisco, ma non capisco quali teoremi debba utilizzare ... s'ha da fare giusto, mia svista XD

[Plepp]

Ragiona "graficamente". La funzione assume il valore minimo in $x=1$, e tale valore minimo è negativo. Un polinomio di grado pari diverge positivamente per $x\to \pm \infty$. Senonché, un polinomio $f$ è una funzione continua, quindi assume tutti i valori compresi tra $"sup"\ f $ e $"inf"\ f$. Per quanto detto, $"sup"\ f=+\infty$ e $"inf"\ f=\min f=-2$.

Emmobbastaveramenteperò! Sforzati

EDIT: un altro hint, dai; abbiamo dimostrato che su $(-\infty, 1]$ e $[1,+\infty)$ la funzione $f$ è rispettivamente strettamente decrescente e crescente. Una funzione strettamente monotona è ingettiva...

[sanjoe_pro]

grazie lo stesso, ma all'appello il Prof. vuole l'applicazione di un teorema e relativa dimostrazione. Spero che qualcun altro possa aiutarmi :S