Equazione di diffusione: continua.
Buona sera a tutti.
Devo dimostrare che l'equazione di diffusione del calore $u(x,t)$ con condizioni al bordo di dirichlet sia continua.
Ho pensato di usare quei pochi strumenti di analisi funzionale di cui dispongo, vi illustro il mio ragionamento e poi aspetto quale critica costruttiva!
siano per esempio date delle condizioni al bordo (a e b) nulle
con il metodo delle separazione delle variabili, ricavo la soluzione che è della forma (pag 40 di questo pdf : http://www.dm.unito.it/quadernididattici/2002/cermelli.pdf )
${((delu)/(del t)-grad^2u=0, "su " Q),(u=0, "su " Sigma),(u(x,0)=f(x), "su "Omega):}$
$u(x,t)=sum_(i=1)^(oo)b_n *sin nx *e_i(-n^2*t)$
per dimostrare la continuità ho provato a ragionare come segue.
per dare un senso a "U(x,0)" = $f(x)$ che sarebbe dunque il dato iniziale sviluppato in serie di fourier in soli seni(prolungamento dispari della funzione f(x))..$U(x,0)$ deve appartenere a L2(a,b)..ora guardando la forma che ha $U(x,t)$ per ogni t fissato posso concludere che il coef di fourier è minore di quello di U(x,0)(l'esponensiale per tempi maggiori di 0 lo fa decadere più velocemente) dunque per confronto anche U(x,t) appartenere a L2, cosi come la sua derivata!
dunque se una funzione e la sua derivata appartengono a L2 appartengono allo spazio H1 quindi la funzione è continua per ogni x e t.
giusto? il ragionamento sembra funzionare, ma aspetto qualche vostro consiglio
Devo dimostrare che l'equazione di diffusione del calore $u(x,t)$ con condizioni al bordo di dirichlet sia continua.
Ho pensato di usare quei pochi strumenti di analisi funzionale di cui dispongo, vi illustro il mio ragionamento e poi aspetto quale critica costruttiva!
siano per esempio date delle condizioni al bordo (a e b) nulle
con il metodo delle separazione delle variabili, ricavo la soluzione che è della forma (pag 40 di questo pdf : http://www.dm.unito.it/quadernididattici/2002/cermelli.pdf )
${((delu)/(del t)-grad^2u=0, "su " Q),(u=0, "su " Sigma),(u(x,0)=f(x), "su "Omega):}$
$u(x,t)=sum_(i=1)^(oo)b_n *sin nx *e_i(-n^2*t)$
per dimostrare la continuità ho provato a ragionare come segue.
per dare un senso a "U(x,0)" = $f(x)$ che sarebbe dunque il dato iniziale sviluppato in serie di fourier in soli seni(prolungamento dispari della funzione f(x))..$U(x,0)$ deve appartenere a L2(a,b)..ora guardando la forma che ha $U(x,t)$ per ogni t fissato posso concludere che il coef di fourier è minore di quello di U(x,0)(l'esponensiale per tempi maggiori di 0 lo fa decadere più velocemente) dunque per confronto anche U(x,t) appartenere a L2, cosi come la sua derivata!
dunque se una funzione e la sua derivata appartengono a L2 appartengono allo spazio H1 quindi la funzione è continua per ogni x e t.
giusto? il ragionamento sembra funzionare, ma aspetto qualche vostro consiglio
Risposte
up.
Non si capisce cosa vuoi dimostrare.
Che la soluzione del problema è continua nel cilindro parabolico? O che c'è dipendenza continua dal dato iniziale?
Che la soluzione del problema è continua nel cilindro parabolico? O che c'è dipendenza continua dal dato iniziale?
voglio dimostrare che la funzione è continua in [a,b]x(0,inf)
nessuno riesce a darmi una mano? mi basta un SI/NO ! 
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