Equazione di continuità
Quali funzioni risolvono la famosa equazione di continuità?
$(del rho)/(del t) +v (del rho)/(del x) =0$
Ho provato a sostituire $rho(x,t)=X(x)T(t)$, ottenendo:
$(X')/X=-1/v (T')/T =lambda$
$X prop e^(lambda x)$
$T prop e^(-lambda v t)$
$rho=e^(lambda(x-vt))$
Per il principio di sovrapposizione è allora logico aspettarsi che l'integrale generale sia $rho(x-vt)$. E in effetti si verifica che questa funzione soddisfa l'equazione.
Assegnata la soluzione al tempo iniziale $t=0$ e assegnate le condizioni agli estremi, nel caso in cui questi siano tenuti fissi, la soluzione ai tempi successivi, pare che sia semplicemente traslata rispetto alla soluzione al tempo iniziale. Ciò dovrebbe valere fino a quando il segnale che si propaga si infrange agli estremi del dominio. E' corretto? Cosa succede dopo? Manca qualcosa nella soluzione?
$(del rho)/(del t) +v (del rho)/(del x) =0$
Ho provato a sostituire $rho(x,t)=X(x)T(t)$, ottenendo:
$(X')/X=-1/v (T')/T =lambda$
$X prop e^(lambda x)$
$T prop e^(-lambda v t)$
$rho=e^(lambda(x-vt))$
Per il principio di sovrapposizione è allora logico aspettarsi che l'integrale generale sia $rho(x-vt)$. E in effetti si verifica che questa funzione soddisfa l'equazione.
Assegnata la soluzione al tempo iniziale $t=0$ e assegnate le condizioni agli estremi, nel caso in cui questi siano tenuti fissi, la soluzione ai tempi successivi, pare che sia semplicemente traslata rispetto alla soluzione al tempo iniziale. Ciò dovrebbe valere fino a quando il segnale che si propaga si infrange agli estremi del dominio. E' corretto? Cosa succede dopo? Manca qualcosa nella soluzione?
Risposte
Potresti usare un metodo più diretto per verificare che le soluzioni sono tutte quelle dipendenti da un "fronte d'onda progressivo" passando attraverso le caratteristiche. Poni [tex]$\xi=x-vt$[/tex] e osserva che, posto [tex]$R(\xi,t)=\rho(\xi+vt,t)$[/tex] si ha
[tex]$R_t=v\rho_x+\rho_t=0$[/tex]
per cui le soluzioni sono quelle per cui [tex]$R(\xi,t)=f(\xi)$[/tex]. A questo punto ottieni che [tex]$\rho(x,t)=f(x-vt)$[/tex].
[tex]$R_t=v\rho_x+\rho_t=0$[/tex]
per cui le soluzioni sono quelle per cui [tex]$R(\xi,t)=f(\xi)$[/tex]. A questo punto ottieni che [tex]$\rho(x,t)=f(x-vt)$[/tex].
Grazie, non conoscevo le caratteristiche, però ho capito il ragionamento fatto.
Assodata la soluzione generale, ora provo a risolvere in un caso pratico.
Sia nota la funzione al tempo iniziale:
$rho(x,0)={(1, if 0<=x<1),(10, if 1<=x<=6),(1, if 6
Sia $v=10$.
Trovare la soluzione al tempo $t=1$.
Il profilo iniziale è un'onda quadra. (Non è una funzione continua, ma è generalmente sia continua sia derivabile. Al momento vorrei tralasciare questo aspetto, se possibile.)
Il profilo può essere scomposto in serie di Fourier:
$rho(x,0)=(a_0)/2 + sum_{n} a_n cos((n*pi)/(50) x) + b_n sen((n*pi)/(50) x)$
Per trovare la soluzione al tempo $t$ basta sostituire nei termini della serie $x-vt$ al posto di $x$. In questo modo non tutti i termini vengono traslati allo stesso modo, quindi il profilo si deforma. In altre parole si ha una propagazione con dispersione.
Fino a qui è corretto il ragionamento?
Assodata la soluzione generale, ora provo a risolvere in un caso pratico.
Sia nota la funzione al tempo iniziale:
$rho(x,0)={(1, if 0<=x<1),(10, if 1<=x<=6),(1, if 6
Sia $v=10$.
Trovare la soluzione al tempo $t=1$.
Il profilo iniziale è un'onda quadra. (Non è una funzione continua, ma è generalmente sia continua sia derivabile. Al momento vorrei tralasciare questo aspetto, se possibile.)
Il profilo può essere scomposto in serie di Fourier:
$rho(x,0)=(a_0)/2 + sum_{n} a_n cos((n*pi)/(50) x) + b_n sen((n*pi)/(50) x)$
Per trovare la soluzione al tempo $t$ basta sostituire nei termini della serie $x-vt$ al posto di $x$. In questo modo non tutti i termini vengono traslati allo stesso modo, quindi il profilo si deforma. In altre parole si ha una propagazione con dispersione.
Fino a qui è corretto il ragionamento?
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