Equazione di Clairant

[nadia891]

Ciao,

nella risoluzione di una equazione di Clairant $ y= xy'+ f(y') $ viene detto che bisogna trovare l'inviluppo per la risoluzione( funzione che ha come rette tangenti una delle soluzioni dell'integrale generale come soluzione $y=cx+f(c),$)
Prima cosa : perchè proprio l'inviluppo? non mi basta la soluzione $y=cx+f(c),$?
e seconda perchè viene trovato come sistema di$ { y=cx+f(c), x=-f'(c) $?

[Sk_Anonymous]

Ti faccio un esempio semplice. Considera la famiglia di circonferenze dipendenti da un parametro aventi il centro nel punto $[C(x_C,0)]$ e di raggio $[r=1]$:

$[(x-x_C)^2+y^2=1] rarr [x^2+y^2-2x_Cx+x_C^2-1=0] rarr [f(x,y,x_C)=0]$

L'inviluppo è evidentemente rappresentato dalle rette di equazione $[y=+-1]$. Ebbene, risolvendo il seguente sistema:

$[f(x,y,x_C)=0] ^^ [(delf)/(delx_C)(x,y,x_C)=0]$

si ottengono proprio le rette indicate. Infatti:

$\{(x^2+y^2-2x_Cx+x_C^2-1=0),(-2x+2x_C=0):} rarr \{(x_C^2+y^2-2x_C^2+x_C^2-1=0),(x=x_C):} rarr [y=+-1]$

[gugo82]

Parafrasando don Abbondio: Clairaut, chi era costui...

[vittorino70]

[xdom="gugo82"]@vittorino70: Le prossime volte, evita post senza alcun contenuto. Grazie.[/xdom]

[nadia891]

si ma una volta trovata la $y(x)$ tramite quella intersezionecioè trovato $y(x) = c (-f'(c)) +f(c)$ come dimostro che è proprio la soluzione di $y=xy'+f(y') $ ?