Equazione di Bessel: dimostrazione
Ciao a tutti. Ho un problema con un passaggio nella dimostrazione della equazione di Bessel: $x^2 J_v^('')(x) + x J_v^(')(x) + (x^2 - v^2)J_v(x) = 0 $, dove anche $v in NN$ e dove $J_v(x) = sum_{n=0}^infty (-1)^n / (2^(2n + v) n! (v + n)!) x^(2n + v)$.
Ora, il passaggio che davvero non riesco a capire e' il seguente: $x^2 J_v(x) = sum_{n=0}^infty (-1)^n / (2^(2n + v) n! (v + n)!) x^(2n + v + 2) = - sum_{n=0}^infty 4n(n + v) (-1)^n / (2^(2n + v) n! (v + n)!) x^(2n + v)$.
Ecco, mentre la prima uguaglianza di questo passaggio e' ok, anzi direi banale, la seconda mi risulta incomprensibile: secondo voi da dove diavolo salterebbe fuori quel $- 4n(n + v)$? Tutto dipende da quello: risolto questo passaggio intermedio, tutto il resto e' anche abbastanza banale, ma questo davvero non lo capisco. Grazie a chi mi dara' una mano con questa faccenda, o mi vorra' in qualche modo aiutare per questa dimostrazione.
Ora, il passaggio che davvero non riesco a capire e' il seguente: $x^2 J_v(x) = sum_{n=0}^infty (-1)^n / (2^(2n + v) n! (v + n)!) x^(2n + v + 2) = - sum_{n=0}^infty 4n(n + v) (-1)^n / (2^(2n + v) n! (v + n)!) x^(2n + v)$.
Ecco, mentre la prima uguaglianza di questo passaggio e' ok, anzi direi banale, la seconda mi risulta incomprensibile: secondo voi da dove diavolo salterebbe fuori quel $- 4n(n + v)$? Tutto dipende da quello: risolto questo passaggio intermedio, tutto il resto e' anche abbastanza banale, ma questo davvero non lo capisco. Grazie a chi mi dara' una mano con questa faccenda, o mi vorra' in qualche modo aiutare per questa dimostrazione.
Risposte
Non ho capito che cosa stai dimostrando...
Ad ogni modo, non è che la tira fuori dalla EDO? Ad esempio tenendo presente che [tex]$x^2\ \text{J}_\nu (x)=\nu^2 \text{J}_\nu (x) -x^2 \text{J}_\nu^{\prime \prime} (x)-x \text{J}_\nu^\prime (x)$[/tex]...
Oppure da qualche formula di ricorrenza? Tipo quelle segnalate qui (nel primo spoiler)...
Ad ogni modo, non è che la tira fuori dalla EDO? Ad esempio tenendo presente che [tex]$x^2\ \text{J}_\nu (x)=\nu^2 \text{J}_\nu (x) -x^2 \text{J}_\nu^{\prime \prime} (x)-x \text{J}_\nu^\prime (x)$[/tex]...
Oppure da qualche formula di ricorrenza? Tipo quelle segnalate qui (nel primo spoiler)...
Hai ragione non sono stato molto chiaro: comunque, quello che dovrei dimostrare, semplicemente, e' che, dato per ipotesi che $J_v(x) = sum_{n=0}^infty (-1)^n / (2^(2n + v) n! (v + n)!) x^(2n + v)$, allora l'espressione $x^2 J_v^('')(x) + x J_v^(')(x) + (x^2 - v^2)J_v(x)$ si annulla. Naturalmente, se sfrutto la edo arrivo a stabilire che $x^2 = - 4n(n + v)$, ma non posso sfruttare la edo, perche' si tratta della tesi, per l'appunto, e non di una ipotesi.
Forse dovrei provare con le formule ricorsive a cui fai riferimento: adesso ci guardo con piu' calma... Nel frattempo, se dovessero venirti altre idee, dimmi, che questa dimostrazione lasciata in sospeso proprio mi innervosisce. Grazie.
Forse dovrei provare con le formule ricorsive a cui fai riferimento: adesso ci guardo con piu' calma... Nel frattempo, se dovessero venirti altre idee, dimmi, che questa dimostrazione lasciata in sospeso proprio mi innervosisce. Grazie.
Ah, ok... Allora hai definito $\text{J}_\nu$ come somma di una serie di potenze (convergente ovunque) e devi dimostrare che essa soddisfa l'equazione di Bessel.
Ma ciò mi sembra facile: mi pare basti derivare sotto il segno di somma, calcolare separatamente [tex]$x^2\ \text{J}_\nu^{\prime \prime} (x)+x\ \text{J}_\nu^\prime (x)$[/tex] e [tex]$(x^2-\nu^2)\ \text{J}_\nu (x)$[/tex] e fare un po' di passaggi algebrici... Poi quell'identità dovrebbe venire da sé.
Prova un po'.
Ma ciò mi sembra facile: mi pare basti derivare sotto il segno di somma, calcolare separatamente [tex]$x^2\ \text{J}_\nu^{\prime \prime} (x)+x\ \text{J}_\nu^\prime (x)$[/tex] e [tex]$(x^2-\nu^2)\ \text{J}_\nu (x)$[/tex] e fare un po' di passaggi algebrici... Poi quell'identità dovrebbe venire da sé.
Prova un po'.
Si' adesso ci siamo intesi sulla natura del problema; il fatto e' che mi incarto nel passaggio incriminato che ti ho detto prima. Ecco il procedimento completo.
In primo luogo, si ha che:
$J_v (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n/(2^(2n + v) n! (v + n)!) x^(2n + v)$
e quindi:
$J_v^{\prime} (x) = \sum_{n=0}^\infty (2n + v)* (-1)^n/(2^(2n + v) n! (v + n)!) x^(2n + v - 1)$
$J_v^('') (x) = \sum_{n=0}^\infty (2n + v)(2n + v - 1)*(-1)^n/(2^(2n + v) n! (v + n)!) x^(2n + v - 2)$
Benissimo. Allora, sostituendo nell'espressione $x^2 J_v^('') (x) + x J_v^{\prime} (x) + (x^2 - v^2) J_v (x)$, si ottiene:
$ x^2 \sum_{n=0}^\infty (2n + v)(2n + v - 1)*(-1)^n/(2^(2n + v) n! (v + n)!) x^(2n + v - 2) + x \sum_{n=0}^\infty (2n + v)* (-1)^n/(2^(2n + v) n! (v + n)!) x^(2n + v - 1) + (x^2 - v^2) \sum_{n=0}^\infty (-1)^n/(2^(2n + v) n! (v + n)!) x^(2n + v) $
e quindi
$ \sum_{n=0}^\infty (2n + v)(2n + v - 1)*(-1)^n/(2^(2n + v) n! (v + n)!) x^(2n + v) + \sum_{n=0}^\infty (2n + v)* (-1)^n/(2^(2n + v) n! (v + n)!) x^(2n + v) + (x^2 - v^2) \sum_{n=0}^\infty (-1)^n/(2^(2n + v) n! (v + n)!) x^(2n + v) $
ovvero:
$ \sum_{n=0}^\infty [(2n + v)(2n + v - 1) + (2n + v) + (x^2 - v^2)] * (-1)^n/(2^(2n + v) n! (v + n)!) x^(2n + v) $
Ecco, il problema e' tutto qui: mostrare che l'espressione racchiusa fra quadre e' nulla, cio' che dimostrerebbe la tesi rappresentata dalla edo.
Il fatto e' che se svolgi i calcoli di tale espressione, ottieni: $[(2n + v)(2n + v - 1) + (2n + v) + (x^2 - v^2)] = [4n^2 + 4nv + x^2]$.
Ecco perche' a questo punto bisognerebbe trovare il modo di mostrare che $x^2 = - 4n^2 - 4nv $, in modo da arrivare finalmente alla tesi; ma davvero non riesco a capire come giustificare quest'ultima equazione...
In primo luogo, si ha che:
$J_v (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n/(2^(2n + v) n! (v + n)!) x^(2n + v)$
e quindi:
$J_v^{\prime} (x) = \sum_{n=0}^\infty (2n + v)* (-1)^n/(2^(2n + v) n! (v + n)!) x^(2n + v - 1)$
$J_v^('') (x) = \sum_{n=0}^\infty (2n + v)(2n + v - 1)*(-1)^n/(2^(2n + v) n! (v + n)!) x^(2n + v - 2)$
Benissimo. Allora, sostituendo nell'espressione $x^2 J_v^('') (x) + x J_v^{\prime} (x) + (x^2 - v^2) J_v (x)$, si ottiene:
$ x^2 \sum_{n=0}^\infty (2n + v)(2n + v - 1)*(-1)^n/(2^(2n + v) n! (v + n)!) x^(2n + v - 2) + x \sum_{n=0}^\infty (2n + v)* (-1)^n/(2^(2n + v) n! (v + n)!) x^(2n + v - 1) + (x^2 - v^2) \sum_{n=0}^\infty (-1)^n/(2^(2n + v) n! (v + n)!) x^(2n + v) $
e quindi
$ \sum_{n=0}^\infty (2n + v)(2n + v - 1)*(-1)^n/(2^(2n + v) n! (v + n)!) x^(2n + v) + \sum_{n=0}^\infty (2n + v)* (-1)^n/(2^(2n + v) n! (v + n)!) x^(2n + v) + (x^2 - v^2) \sum_{n=0}^\infty (-1)^n/(2^(2n + v) n! (v + n)!) x^(2n + v) $
ovvero:
$ \sum_{n=0}^\infty [(2n + v)(2n + v - 1) + (2n + v) + (x^2 - v^2)] * (-1)^n/(2^(2n + v) n! (v + n)!) x^(2n + v) $
Ecco, il problema e' tutto qui: mostrare che l'espressione racchiusa fra quadre e' nulla, cio' che dimostrerebbe la tesi rappresentata dalla edo.
Il fatto e' che se svolgi i calcoli di tale espressione, ottieni: $[(2n + v)(2n + v - 1) + (2n + v) + (x^2 - v^2)] = [4n^2 + 4nv + x^2]$.
Ecco perche' a questo punto bisognerebbe trovare il modo di mostrare che $x^2 = - 4n^2 - 4nv $, in modo da arrivare finalmente alla tesi; ma davvero non riesco a capire come giustificare quest'ultima equazione...
@Ulrich: Sbagli, perchè vuoi far entrare a forza la variabile [tex]$x$[/tex] in una relazione tra coefficienti di due serie di potenze... Ed i coefficienti sono notoriamente indipendenti dalla variabile.
Io più che altro, farei così.
Posto per comodità [tex]$C_{n,\nu}:=\tfrac{(-1)^n}{2^{2n+\nu}\ n!\ (n+\nu)!}$[/tex], hai:
[tex]$x^2\ \text{J}_\nu^{\prime \prime} (x)+x\ \text{J}_\nu^\prime (x)-\nu^2\ \text{J}_\nu (x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \Big[ (2n+\nu)(2n+\nu -1) + (2n+\nu) -\nu^2\Big]\ C_{n,\nu}\ x^{2n+\nu}$[/tex]
[tex]$=\sum_{n=0}^{+\infty} \Big[ (2n+\nu)^2 -\nu^2\Big]\ C_{n,\nu}\ x^{2n+\nu}$[/tex]
[tex]$=\sum_{n=0}^{+\infty} 4n(n+\nu )\ C_{n,\nu}\ x^{2n+\nu}$[/tex]
[tex]$=\sum_{n=1}^{+\infty} 4n(n+\nu )\ C_{n,\nu}\ x^{2n+\nu}$[/tex] (soppressione del primo addendo -che è nullo-)
[tex]$=\sum_{n=1}^{+\infty} - C_{n-1,\nu}\ x^{2n+\nu}$[/tex] (tieni presente che [tex]$C_{n,\nu}=- \tfrac{1}{4n(n+1)}\ C_{n-1,\nu}$[/tex] per definizione)
[tex]$=\sum_{m=0}^{+\infty} - C_{m,\nu}\ x^{2m+\nu +2}$[/tex] (sostituzione d'indici [tex]$n=m+1$[/tex])
[tex]$=-x^2\ \sum_{m=0}^{+\infty} C_{m,\nu}\ x^{2m+\nu}$[/tex]
[tex]$=-x^2\ \text{J}_\nu (x)$[/tex]
che è quello che volevi.
Io più che altro, farei così.
Posto per comodità [tex]$C_{n,\nu}:=\tfrac{(-1)^n}{2^{2n+\nu}\ n!\ (n+\nu)!}$[/tex], hai:
[tex]$x^2\ \text{J}_\nu^{\prime \prime} (x)+x\ \text{J}_\nu^\prime (x)-\nu^2\ \text{J}_\nu (x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \Big[ (2n+\nu)(2n+\nu -1) + (2n+\nu) -\nu^2\Big]\ C_{n,\nu}\ x^{2n+\nu}$[/tex]
[tex]$=\sum_{n=0}^{+\infty} \Big[ (2n+\nu)^2 -\nu^2\Big]\ C_{n,\nu}\ x^{2n+\nu}$[/tex]
[tex]$=\sum_{n=0}^{+\infty} 4n(n+\nu )\ C_{n,\nu}\ x^{2n+\nu}$[/tex]
[tex]$=\sum_{n=1}^{+\infty} 4n(n+\nu )\ C_{n,\nu}\ x^{2n+\nu}$[/tex] (soppressione del primo addendo -che è nullo-)
[tex]$=\sum_{n=1}^{+\infty} - C_{n-1,\nu}\ x^{2n+\nu}$[/tex] (tieni presente che [tex]$C_{n,\nu}=- \tfrac{1}{4n(n+1)}\ C_{n-1,\nu}$[/tex] per definizione)
[tex]$=\sum_{m=0}^{+\infty} - C_{m,\nu}\ x^{2m+\nu +2}$[/tex] (sostituzione d'indici [tex]$n=m+1$[/tex])
[tex]$=-x^2\ \sum_{m=0}^{+\infty} C_{m,\nu}\ x^{2m+\nu}$[/tex]
[tex]$=-x^2\ \text{J}_\nu (x)$[/tex]
che è quello che volevi.
Non ci posso credere: dimostrazione assolutamente perfetta - e le note fra parentesi erano del tutto superflue, da tanto e' chiara ed evidente: la stampo e la conservo fra le pagine del mio libro di testo. In effetti avevo intuito di essermi cacciato in un vicolo cieco, ma stavo girando a vuoto nel tentativo di trovare qualche strada alternativa: adesso mi hai tirato fuori da questa palude. Davvero grazie.
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