Equazione di Bernoulli e problema di Cauchy

[driver_458]

$y'=2xy/(1+x^2)+xy^3$ dividendo per $y^3$
Ponendo $z=y^(-2)$ e derivando ottengo $(y')/y^3=-(z')/2$ ottengo un'equazione lineare non omogenea
$-(z')/2=2xz/(1+x^2)+x$ e risolvendo ottengo
$z=1/(1+x^2)(c-(1+x^2)/3)^3$ ma dopo considendo che $y=+-sqrt(1/z)$... Quale segno devo scegliere ad esempio nella risoluzione di un problema di Cauchy? Qual è il metodo che si usa anche in base al teorema di esistenza e unicità?


Data l'equazione $y'=xy+xy^3$ mi trovo come soluzione finale $y=+-1/sqrt(ce^(-x^2)-1)$
Andando a risolvere i 2 problemi di Cauchy con le restrizioni $y(1/2)=0$ e $y(0)=1/2$ non mi trovo col risultato del libro...
La prima restrizione implica $y=0$ la seconda $y=(1+3e^(-x^2)^(-1/2)$... se io sostuisco nella funzione che avevo trovato non mi trovo con i risultati... e poi quale segno devo considerare?

[Rigel1]

Se \(y(0) = 1/2\), la funzione \(z = y^{-2}\) è soluzione del problema di Cauchy
\[
\begin{cases}
z' = -\frac{4x}{1+x^2}\, z -2x,\\
z(0) = 4.
\end{cases}
\]
Una volta calcolata la soluzione \(z\), sai che la \(y\) è definita nel più grande intervallo \(I\) contenente \(x=0\) e tale che \(z>0\); a questo punto puoi calcolare \(y(x) = \sqrt{z(x)}\), \(x\in I\). (Il segno è positivo visto che \(y(0) > 0\) e, per l'unicità, si deve avere \(y>0\) su tutto l'intervallo di definizione della soluzione).

Edit: la soluzione si riferisce alla prima equazione differenziale del post.