Equazione di Bernoulli e più ampio intervallo di definizione
Ciao a tutti. Vi posto il seguente esercizio:
Determinare l'integrale generale della seguente equazione differenziale: $ y'+xy+x/sqrt(y)=0 $
Precisare il più ampio intervallo di definizione.
Essendo un' equazione di Bernoulli scrivo: $ y'= -xy-x/sqrt(y) $
divido per $sqrt(y)$ e ottengo: $ (y')/(sqrt(y))= -xy^(3/2) $ (equazione omogenea)
Pongo $ z(x)=y^(3/2) $ allora $ z'(x)=3/2sqrt(y)y'$
Mi ritrovo a risolvere un'equazione a variabili separabili e trovo l'integrale generale dell'eq omogenea: $ke^(-3/4x^2)$
Fatto ciò trovo la soluzione particolare con il metodo di Lagrange trovando: $ \bar z = c(x) e^(-3/4x^2)$ da cui trovo $ c(x)= e^(-3/4x^2)$
Allora l'integrale generale dell'eq differenziale è : $ z(x) = ke^(-3/4x^2) + e^(-3/2x^2)$
Supponendo che quanto fatto sia giusto il mio problema è precisare il più ampio intervallo di definizione.
So che deve essere $ y in ]0,oo[ $
Qualcuno può aiutarmi a capire?
Determinare l'integrale generale della seguente equazione differenziale: $ y'+xy+x/sqrt(y)=0 $
Precisare il più ampio intervallo di definizione.
Essendo un' equazione di Bernoulli scrivo: $ y'= -xy-x/sqrt(y) $
divido per $sqrt(y)$ e ottengo: $ (y')/(sqrt(y))= -xy^(3/2) $ (equazione omogenea)
Pongo $ z(x)=y^(3/2) $ allora $ z'(x)=3/2sqrt(y)y'$
Mi ritrovo a risolvere un'equazione a variabili separabili e trovo l'integrale generale dell'eq omogenea: $ke^(-3/4x^2)$
Fatto ciò trovo la soluzione particolare con il metodo di Lagrange trovando: $ \bar z = c(x) e^(-3/4x^2)$ da cui trovo $ c(x)= e^(-3/4x^2)$
Allora l'integrale generale dell'eq differenziale è : $ z(x) = ke^(-3/4x^2) + e^(-3/2x^2)$
Supponendo che quanto fatto sia giusto il mio problema è precisare il più ampio intervallo di definizione.
So che deve essere $ y in ]0,oo[ $
Qualcuno può aiutarmi a capire?
Risposte
a me risulta che la tua risoluzione sia errata
consideriamo il problema di Cauchy
$ { ( y'+xy+x/sqrty=0 ),( y(0)=alpha ):} $
con $alpha>0$
secondo i miei calcoli la soluzione si può scrivere nella forma
$ysqrty=(1+alphasqrtalpha)e^(-3/4x^2)-1$
veniamo adesso alla tua domanda : se la risposta $y>0$ si riferisce al fatto che la soluzione sia sempre positiva ,allora ciò mi sembra lapalissiano
se vogliamo dare un significato più interessante al termine "insieme di definizione" allora possiamo dire che ,per ogni $alpha$,la soluzione del problema di Cauchy è pari ed è definita in un intervallo del tipo $(-beta,beta)$,con $beta>0$
se $alpha rarr 0,betararr0$
se $alpha rarr+infty,betararr+infty$
consideriamo il problema di Cauchy
$ { ( y'+xy+x/sqrty=0 ),( y(0)=alpha ):} $
con $alpha>0$
secondo i miei calcoli la soluzione si può scrivere nella forma
$ysqrty=(1+alphasqrtalpha)e^(-3/4x^2)-1$
veniamo adesso alla tua domanda : se la risposta $y>0$ si riferisce al fatto che la soluzione sia sempre positiva ,allora ciò mi sembra lapalissiano
se vogliamo dare un significato più interessante al termine "insieme di definizione" allora possiamo dire che ,per ogni $alpha$,la soluzione del problema di Cauchy è pari ed è definita in un intervallo del tipo $(-beta,beta)$,con $beta>0$
se $alpha rarr 0,betararr0$
se $alpha rarr+infty,betararr+infty$
Non capisco perchè consideri la condizione di cauchy..
non rispondo ad uno che replica dopo più di 3 settimane
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