Equazione di 3o grado e parametro di un ellissoide

[lucadileta1]

salve a tutti mi sono imbattuto in questa equazione

$ x^2/(a^2+lambda)+y^2/(b^2+lambda)+z^2/lambda=1 $

e devo determinare $ lambda $ che rappresenta il parametro di un ellissoide, e delle tre soluzioni prendere solo la radice positiva
che in seguito dovrò usare in una derivata....qualcuno sa come affrontare il problema? idee? grazie a tutti in anticipo

p.s. credo sia una equazione notevole ma il testo non dice nulla ne sul risultato che sul metodo di risoluzione, ho provato con le formule di cardano ma non sono riuscito ad ottenere nulla...grazie di nuovo

[gugo82]

Non capisco dove vuoi andare a parare...
Voglio dire, al variare di [tex]$\lambda$[/tex] in [tex]$]0,+\infty[$[/tex] l'equazione [tex]\frac{x^2}{a^2+\lambda}+\frac{y^2}{b^2+\lambda}+\frac{z^2}{\lambda}=1[/tex] descrive sempre un'ellissoide; quindi che soluzioni devi cercare?
Oppure forse [tex]$x,y,z$[/tex] sono assegnati e [tex]$\lambda$[/tex] è l'unica variabile?

Ad ogni modo, non è che si può usare un approccio alternativo per eliminare questo conto?
Qual è il problema originale?

[lucadileta1]

ciao gugo allora ti spiego: io sto studiando una funzione potenziale per la teoria del contatto hertziano, tale funzione è rappresentata da un integrale i cui estremi di integrazione sono per quanto riguarda l'estremo inferiore proprio la radice positiva dell equazione che ho scritto, mentre l'estremo superiore è $ oo $ per questo ho bisogno di risolvere l'equazione di terzo grado in lambda che sarà a sua volta funzione di $ x y z $, successivamente la radice trovata sarà una nuova funzione che dovrò derivare rispetto alle coordiante stesse, insomma un bel casino...

[gugo82]

Continuo a non capirci un tubo.

Per ogni valore [tex]$\lambda_0>0$[/tex], quella equazione ha soluzioni [tex]$(x,y,z)$[/tex]: tali soluzioni costituiscono l'ellissoide [tex]$\mathcal{E}(\lambda_0) :=\{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3:\ \tfrac{x^2}{a^2+\lambda_0} +\tfrac{y^2}{b^2+\lambda_0}+\tfrac{z^2}{\lambda_0}=1\}$[/tex].
Viceversa, per ovvi motivi geometrici, per ogni fissato [tex]$(x_0,y_0,z_0)$[/tex] esiste un unico [tex]$\lambda >0$[/tex] tale che l'ellissoide [tex]$\mathcal{E}(\lambda) :=\{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3:\ \tfrac{x^2}{a^2+\lambda} +\tfrac{y^2}{b^2+\lambda}+\tfrac{z^2}{\lambda}=1\}$[/tex] passa per [tex]$(x_0,y_0,z_0)$[/tex], i.e. [tex]$(x_0,y_0,z_0) \in \mathcal{E}(\lambda)$[/tex].

Da quanto dici, mi sembra che tu consideri la seconda alternativa: cioè ritieni fissati [tex]$x,y,z$[/tex] e vuoi sapere qual è il valore di [tex]$\lambda$[/tex] tale che [tex]$(x,y,z)\in \mathcal{E}(\lambda)$[/tex].

Che condizioni hai da imporre su [tex]$a,b,x,y,z$[/tex]?
Mathematica calcola le soluzioni dell'equazione cubica in un attimo; però sono dei formuloni grossi così e per poterle semplificare serve qualche informazione in più.

[lucadileta1]

caro gugo ho risolto l'arcano, praticamente il problema essendo troppo complesso nel trovare le radici di un equazione cubica si riduce a due soli casi particolari ovvero quelli in qui queste radici sono $ lambda=0 $ e questo si ha quando si pone $ z=0 $ ovvero ci si trova sul piano all'interno dell ellisse e $ lambda=z^2 $ quando invece mi trovo lungo l'asse $ z $ e pongo $ x=y=0 $ infatti il testo dice che queste due condizioni sono le uniche per cui è possibile ottenere una soluzione analitica del problema che in tutti gli altri casi si risolve in maniera computazionale, cmqe per risponderti a quanto hai affermato nella equazione citata $ lambda, x,y,z $ sono tutte variabili ma io detro trovare una funzione $lambda$ che è funzione di $x,y,z$ che determino proprio come la radice della equazione che descrive gli ellissoidi....perchè però non lo so