Equazione di 2o grado per un dominio definito

[lucadileta1]

buonasera a tutti, per un problema che sto studiando mi trovo a dover rappresentare la soluzione di un equazione di secondo grado, (la seguente)

$ x^2/(a^2+lambda)+y^2/(b^2+lambda)=1 $

il mio problema è che non so come esprimere in maniera pulita che per tutti i punti che appartengono all'area circoscritta dall'ellisse

$ x^2/a^2+y^2/b^2=1 $

le radici dell'equazione di secondo grado in $lambda$ abbia radici coincidenti, in particolare $lambda=0$

spero di essere stato chiaro

grazie a tutti in anticipo

[gugo82]

Non si capisce cosa vuoi fare.
Qual è/quali sono l'incognita/le incognite nell' equazione \(\frac{x^2}{a^2+\lambda} +\frac{y^2}{b^2+\lambda}=1\)?

Alcune considerazioni in ordine.

Fissato \(\lambda >0\), l'equazione \(\frac{x^2}{a^2+\lambda} +\frac{y^2}{b^2+\lambda}=1\) descrive l'ellisse \(\mathcal{E}_\lambda\) con centro nell'origine e semiassi \(\sqrt{a^2+\lambda},\ \sqrt{b^2+\lambda}\) i quali sono maggiori di \(a,\ b\); pertanto \(\mathcal{E}_\lambda\) è tutta esterna all'ellisse \(\mathcal{E}_0\) d'equazione \(\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2}=1\).

Fissato un punto \((x,y)\) nella regione esterna ad \(\mathcal{E}_0\), quindi un punto tale che \(b^2x^2+a^2y^2\geq a^2b^2\), è facile convencersi che per tale punto passa almeno un'unica ellisse della famiglia \(\mathcal{E}_\lambda\): invero si ha:
\[\frac{x^2}{a^2+\lambda} +\frac{y^2}{b^2+\lambda}=1\ \Leftrightarrow\ \lambda^2+(a^2+b^2-x^2-y^2)\lambda-(b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2)=0\]
(se non ho sbagliato i conti) ed il polinomio di secondo grado in \(\lambda\) che compare nella seconda equazione ha discriminante positivo e dunque, per la regola di Cartesio, una sola radice reale positiva.

D'altra parte, le ellissi della famiglia \(\mathcal{E}_\lambda\) sono tutte disgiunte.
Infatti, se, per assurdo, esistessero due valori \(\lambda \neq \mu\) tali che \((\xi ,\eta)\in \mathcal{E}_\lambda \cap \mathcal{E}_\mu\) si avrebbe:
\[\frac{\xi^2}{a^2+\lambda} +\frac{\eta^2}{b^2+\lambda}=1=\frac{\xi^2}{a^2+\mu} +\frac{\eta^2}{b^2+\mu}\]
e dunque:
\[\xi^2\ \frac{\mu-\lambda}{(a^2+\lambda)(a^2+\mu)} =\eta^2\ \frac{\lambda-\mu}{(b^2+\lambda)(b^2+\mu)}\]
il che è assurdo, perchè uno dei due membri è positivo e l'altro negativo.

Conseguentemente, quando si lascia \(\lambda\) libero di variare \(\in ]0,+\infty[\), la famiglia di ellissi \(\mathcal{E}_\lambda\) spazza tutta la regione di piano esterna all'ellisse \(\mathcal{E}_0\) d'equazione \(\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2}=1\).

[lucadileta1]

ciao gugo, immaginavo di non essere stato chiaro :O, allora in ordine

- nella mia equazione di secondo grado la mia incognita è $lambda$, io so che risolvendola ottengo come radici coincidenti $lambda_1=0$ per tutti i punti di coordinate x,y posti all'interno di un area ellittica definita dalla seconda equazione, quello che devo fare è rappresentare questo risultato in forma matematica e scrivere una forma generale di risoluzione della suddetta equazione in modo che valga per tutti i punti dell'area ellittica di cui ti ho parlato....spero di essermi spiegato meglio stavolta

[gugo82]

"lucadileta":- nella mia equazione di secondo grado la mia incognita è $lambda$, io so che risolvendola ottengo come radici coincidenti $lambda_1=0$ per tutti i punti di coordinate x,y posti all'interno di un area ellittica definita dalla seconda equazione[...]

Ciò non mi sembra sia vero.

Il \(\lambda=0\) è una radice di molteplicità uno se \((x,y)\in \mathcal{E}_0\) (ed \(\mathcal{E}_0\) non è un'area, ma una curva), cioè se \(b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2\).
Ciò discende dall'equazione di secondo grado che ho ricavato in precedenza, ossia:
\[\tag{1} \lambda^2+(a^2+b^2-x^2-y^2)\lambda-(b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2)=0\]
(a proposito, mi confermi che è corretta?): invero, se \(x,y\in \mathcal{E}_0\), si ha \(x^2+y^2< a^2+b^2\) (infatti \((x,y)\) è interno al cerchio chiuso \(C(a,b)\) di raggio \(\sqrt{a^2+b^2}\); basta fare un disegno per convincersene*) ed ovviamente \(b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2\), sicché l'equazione (1) diventa:
\[\lambda\ (\lambda +\underbrace{B}_{=a^2+b^2-x^2-y^2>0})=0\]
ed ha \(\lambda=0\) come radice semplice (l'altra radice essendo \(\lambda=-B<0\)).

D'altra parte, \(\lambda=0\) non è proprio una radice se \((x,y)\) è interno alla regione limitata delimitata da \(\mathcal{E}_0\), cioè se \(b^2x^2+a^2y^2 In tal caso il polinomio a primo membro di (1) ha tutti e tre i coefficienti positivi, ergo, per la regola di Cartesio, quando ha soluzioni reali (che non è detto ce le abbia, a meno di non fare un'analisi attenta del discriminante \(\Delta =(a^2+b^2-x^2-y^2)^2+4(b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2)\) al variare di \((x,y)\) nella regione suddetta**), tali radici sono entrambe negative.

"lucadileta": quello che devo fare è rappresentare questo risultato in forma matematica e scrivere una forma generale di risoluzione della suddetta equazione in modo che valga per tutti i punti dell'area ellittica di cui ti ho parlato....spero di essermi spiegato meglio stavolta

Le considerazioni fatte in questi due post risolvono la questione, direi.


P.S.: Tanto per curiosità: scommetto che sei ingegnere... Su che lavori?

__________
* Ad esempio, nella figura che segue \(\mathcal{E}_0\) è l'ellisse di semiassi \(a=4,b=2\) (disegnata in rosso) e \(C(a,b)\) è il cerchio delimitato dalla circonferenza \(x^2+y^2=20\) (in nero).
[asvg]axes("","");
circle([0,0],4.472);
stroke="red"; ellipse([0,0],4,2);
stroke="grey"; marker="arrow"; line([0,0],[4,2]);[/asvg]

** Probabilmente troverai che i \(\Delta\) è positivo per \(\lambda >\min \{a,b\}\)... Ma è solo intuito geometrico quindi potrei sbagliare.

[lucadileta1]

Ciao gugo! innanzitutto scusami se ti rispondo con questo ritardo, ti ringrazio per la tua risposta che è stata super esaustiva! ho ricontrollato tutto e non ci sono errori, l'errore grosso l'avevo fatto io dicendo che le radici dell'equazione fossero coincidenti ... per quanto riguarda me ci hai prso in pieno sono un ingegnere meccanico e sto lavorando alla mia tesi che studia il contatto hertziano ed in particolare la determinazione di $ lambda $ mi serve per determinare l'estremo inferiore di integrazione di una certa funzione potenziale che poi derivata mi fornisce un campo tensionale soluzione del mio problema. Tale funzione è trattata nello studio "attrazione degli ellissoidi" che se ti interessa ti posso fornire Grazie infinite di nuovo!