Equazione d'eulero
Ciao a tutti amici,
qualcuno saprebbe darmi una mano con l'integrazione della seguente equazione differenziale?
(2t+1)y''+(4t-2)y'-8y=4t-+2 t>1/2
non so da dove iniziare.
qualcuno sa darmi almeno un idea?
qualcuno saprebbe darmi una mano con l'integrazione della seguente equazione differenziale?
(2t+1)y''+(4t-2)y'-8y=4t-+2 t>1/2
non so da dove iniziare.
qualcuno sa darmi almeno un idea?
Risposte
Ciao
Ho dato un'occhiata ai sacri testi e mi sembra che la tua sia un'equazione di Sturm-Liouville (Moretti Analisi mat vol II parte 2, p190).
Premetto che non sono in grado di darti per filo e per segno la soluzione, non essendo un matematico. Mi limito a indicarti i procedimenti che il testo applica al fine sdi risolvere l'equazione differenziale. La chiave sembra é quella di pervenire all'equazione differnziale autoaggiunta
Indica di trovare i fattori d'integrazione, nel tuo caso p(x)=Exp(Integrale((4t-2)/(2t+1)) dt)
p(x)=Exp(2*t-2*ln(2*t+1))
p(x)= Exp(2*t) * (2*t+1)^2
P(x)=-(8/(2t+1))*p(x)
Con cui l'equazione si riscrive, con D che indica la derivata rispetto a x, come segue
D ( p(x)* D (y) ) + P(x)*y =4*t-2
Si eguaglia a zero D ( p(x)* D (y) ) + P(x)*y =0 (questa é l'equazione autoaggiunta per cui le soluzioni sono funzioni/autovalori di questa equazione),
alla primitiva si aggiungerà 4*t-2
Poi, sig, il libro ... si perde e non indica come proseguire. O meglio, fa esempi per equazioni semplici a fattori costanti.
Spero almeno di averti dato un'idea su come iniziare l'opera magna).
Di certo qualche anima buona ti darà migliore supporto!
(intanto dò un'occhiata in giro per il web)
ciao
federiclet
Ho dato un'occhiata ai sacri testi e mi sembra che la tua sia un'equazione di Sturm-Liouville (Moretti Analisi mat vol II parte 2, p190).
Premetto che non sono in grado di darti per filo e per segno la soluzione, non essendo un matematico. Mi limito a indicarti i procedimenti che il testo applica al fine sdi risolvere l'equazione differenziale. La chiave sembra é quella di pervenire all'equazione differnziale autoaggiunta
Indica di trovare i fattori d'integrazione, nel tuo caso p(x)=Exp(Integrale((4t-2)/(2t+1)) dt)
p(x)=Exp(2*t-2*ln(2*t+1))
p(x)= Exp(2*t) * (2*t+1)^2
P(x)=-(8/(2t+1))*p(x)
Con cui l'equazione si riscrive, con D che indica la derivata rispetto a x, come segue
D ( p(x)* D (y) ) + P(x)*y =4*t-2
Si eguaglia a zero D ( p(x)* D (y) ) + P(x)*y =0 (questa é l'equazione autoaggiunta per cui le soluzioni sono funzioni/autovalori di questa equazione),
alla primitiva si aggiungerà 4*t-2
Poi, sig, il libro ... si perde e non indica come proseguire. O meglio, fa esempi per equazioni semplici a fattori costanti.
Spero almeno di averti dato un'idea su come iniziare l'opera magna).
Di certo qualche anima buona ti darà migliore supporto!
(intanto dò un'occhiata in giro per il web)
ciao
federiclet
Addendum (da http://www.sosmath.com/diffeq/second/li ... inear.html
La regola generale per l'equazione differenziale di secondo grado non omogenea in x := a(x)*y''+b(x)*y'+c(x)*y=d(x)
E' di associargli l'equazione lineare a(x)*y''+b(x)*y'+c(x)*y=0
Poi di dividere entrambe per a(x) ottenedo nell'ordine i coeffcienti p(x), q(x) e r(x) e mettere a sistema.
Se tali coefficienti sono definiti e continui nell'intervallo d'integrazione allora l'equazione y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)
con y(0)=A e y'(0)=B, dove A e B sono due valori arbitrari, ammette un unica soluzione
sull'intervallo di definizione (dei coefficienti in x)
della forma y= y(soluzione della eq diff omogenea associata) + y(sol particolare della forma non lineare)
Viene indicato di risolvere prima l'equazione omogenea, poi quella non omogenea e quindi di addizionare i risultati
E' noto che la soluzione della equazione omogenea é della forma y=c1*y1 + c2*y2
Per l'equazione omogenea in x in luogo delle costanti compaiono funzioni u1 e u2 sì che la soluzione abbia la forma y=u1 * y1 + u2 * y2
Le funzioni u1 e u2 sono la soluzione del sistema {u1'y1+u2'y2=0, u1'y1'+u2'y2'=r(x)} e si ottengono tramite il det wronskiano per garantirne l'indipendenza lineare
u1=Integrale ( (y1 * r) / (Wronskian(y1,y2)(x)) dx
u2=Integrale ( (y2 * r) / (Wronskian(y1,y2)(x)) dx
Wronskian = W -> y1 * y2' - y'1 * y2
NB purtroppo non ci sono esempi!!! sig
ciao
Extrabit
Sempre su
http://www.sosmath.com/diffeq/second/euler/euler.html
ho trovato la voce specifica per l'equazione del tipo x^2*y''+bx*y'+cy=0 (equazione di Eulero Cauchy)
Se tu riuscissi a portare la tua equazione in questa forma, poi potresti sostituire x=Exp(t), ricalcolando anche le derivate y'' e y'
Sostituendo Exp(t) e le y'' e y' ricalcolate nella nuova variabile si ottiene una equazione a coefficienti costanti y''+ (b-1)y'*cY=0
risolvibile attraverso la caratteristica z^2+(b-1)z+c=0
Per z1 e z2 reali e distinte la risolvente é y=C1* |x|^z1+ C2 *|x|^z2
Per z1=z2 reali coincidenti la risolvente é y= (C1+C2*Ln(|x|))*|x|^z1
Per valori complessi coniugati la risolv é y= (C1*cos(g*Ln(|x|) + C2*sin(g*Ln(|x|))*|x|^h
con g= (1/2)*(Sqrt(4c-(b-1)^2)^1/2) e h=(1/2)*(-(b-1))
forse così va un po' meglio
ciao
La regola generale per l'equazione differenziale di secondo grado non omogenea in x := a(x)*y''+b(x)*y'+c(x)*y=d(x)
E' di associargli l'equazione lineare a(x)*y''+b(x)*y'+c(x)*y=0
Poi di dividere entrambe per a(x) ottenedo nell'ordine i coeffcienti p(x), q(x) e r(x) e mettere a sistema.
Se tali coefficienti sono definiti e continui nell'intervallo d'integrazione allora l'equazione y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)
con y(0)=A e y'(0)=B, dove A e B sono due valori arbitrari, ammette un unica soluzione
sull'intervallo di definizione (dei coefficienti in x)
della forma y= y(soluzione della eq diff omogenea associata) + y(sol particolare della forma non lineare)
Viene indicato di risolvere prima l'equazione omogenea, poi quella non omogenea e quindi di addizionare i risultati
E' noto che la soluzione della equazione omogenea é della forma y=c1*y1 + c2*y2
Per l'equazione omogenea in x in luogo delle costanti compaiono funzioni u1 e u2 sì che la soluzione abbia la forma y=u1 * y1 + u2 * y2
Le funzioni u1 e u2 sono la soluzione del sistema {u1'y1+u2'y2=0, u1'y1'+u2'y2'=r(x)} e si ottengono tramite il det wronskiano per garantirne l'indipendenza lineare
u1=Integrale ( (y1 * r) / (Wronskian(y1,y2)(x)) dx
u2=Integrale ( (y2 * r) / (Wronskian(y1,y2)(x)) dx
Wronskian = W -> y1 * y2' - y'1 * y2
NB purtroppo non ci sono esempi!!! sig
ciao
Extrabit
Sempre su
http://www.sosmath.com/diffeq/second/euler/euler.html
ho trovato la voce specifica per l'equazione del tipo x^2*y''+bx*y'+cy=0 (equazione di Eulero Cauchy)
Se tu riuscissi a portare la tua equazione in questa forma, poi potresti sostituire x=Exp(t), ricalcolando anche le derivate y'' e y'
Sostituendo Exp(t) e le y'' e y' ricalcolate nella nuova variabile si ottiene una equazione a coefficienti costanti y''+ (b-1)y'*cY=0
risolvibile attraverso la caratteristica z^2+(b-1)z+c=0
Per z1 e z2 reali e distinte la risolvente é y=C1* |x|^z1+ C2 *|x|^z2
Per z1=z2 reali coincidenti la risolvente é y= (C1+C2*Ln(|x|))*|x|^z1
Per valori complessi coniugati la risolv é y= (C1*cos(g*Ln(|x|) + C2*sin(g*Ln(|x|))*|x|^h
con g= (1/2)*(Sqrt(4c-(b-1)^2)^1/2) e h=(1/2)*(-(b-1))
forse così va un po' meglio
ciao
Per stokesNavier e Federiclet.
Leggere le formule scritte da voi è difficile.
Visto che su questo forum c'è implementato un programmino che consente di scrivere formule leggibili, vi chiedo il favore di dare uno sguardo alla guida di Mathml.
Grazie.
Leggere le formule scritte da voi è difficile.
Visto che su questo forum c'è implementato un programmino che consente di scrivere formule leggibili, vi chiedo il favore di dare uno sguardo alla guida di Mathml.
Grazie.
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