Equazione del secondo ordine con Lagrange

[Gustav Wittgenstein]

Ciao a tutti, vorrei proporvi questa equazione differenziale del secondo ordine: \[y''+4y=3sinx\] Il polinomio caratteristico è $P(lambda)=(lambda)^2+4=0$, e ha come radici $+-2i$. Dalla teoria sulle equazioni omogenee si ha quindi la soluzione $y_O(x)=c_1cos2x+c_2sin2x$.

Adesso, per la soluzione particolare provo con il metodo di Lagrange. Si ha $[[y_1=cos2x, y_2=sin2x],[y_1'=-2sin2x,y_2'=2cos2x]]$ da cui il sistema ${(psi_1'cos2x+psi_2'sin2x=0),(psi_1'(-2sin2x)+psi_2'2cos2x=3sinx):}$

Risolvendo ottengo $psi_1'=-sinxsin2x$ e $psi_2'=3/2sinxcos2x$. Integrando, ho infine $psi_1=2sin^3x$ e $psi_2=1/4(3cosx-cos3x)$.

Tuttavia questa soluzione non è corretta. Sapete indicarmi dove ho sbagliato?

[cooper1]

io rifarei i conti. purtroppo ora non ho tempo di farli per bene ma così di fretta mi sembra che $psi_2 ^{\prime} =3/4 (sinx)/cos(2x)$.
però non ne sono sicuro prova a ricontrollarli.

[pilloeffe]

Ciao Gustav Wittgenstein,

Beh, seguirei il consiglio di cooper, perché si vede subito che una soluzione particolare dell'equazione differenziale $ y'' + 4y = 3 sinx $ è $ y_p(x) = sin x $, per cui la soluzione dell'equazione differenziale proposta è la seguente:

$y(x) = y_o(x) + y_p(x) = c_1 cos(2x) + c_2 sin(2x) + sin x $