Equazione del piano osculatore
Ciao a tutti vorrei chiedere nuovamente il vostro aiuto riguardo ad un esercizio d'esame.
Esso chiede di ricavare l'equazione del piano osculatore della curva: $x(t)=t, y(t)=t^2, z(t)=t^2+sin(t^2-1)$
Nel punto relativo a $t=1$;
Premetto che non è un argomento che abbiamo trattato a lezione e che non riesco nemmeno a trovare sul mio libro di testo;
Abbiamo trattato solo il cerchio osculatore pertanto penso che il procedimento sia abbastanza analogo;
Comunque ho ricavato:
$x'(t)=t; y'(t)=2t; z'(t)=2t+2tcos(t^2-1)$
$x''(t)=0; y''(t)=2; z''(t)=2+2cos(t^2-1)-4t^2sin(t^2-1)$
Da cui $P(1)=(1,1,1); P'(1)=(1,2,4); P''(1)=(0,2,4)$
E adesso che devo fare?! Ah in programma non abbiamo ancora fatto ne matrici ne determinanti ecc...
Saluti andrea
Esso chiede di ricavare l'equazione del piano osculatore della curva: $x(t)=t, y(t)=t^2, z(t)=t^2+sin(t^2-1)$
Nel punto relativo a $t=1$;
Premetto che non è un argomento che abbiamo trattato a lezione e che non riesco nemmeno a trovare sul mio libro di testo;
Abbiamo trattato solo il cerchio osculatore pertanto penso che il procedimento sia abbastanza analogo;
Comunque ho ricavato:
$x'(t)=t; y'(t)=2t; z'(t)=2t+2tcos(t^2-1)$
$x''(t)=0; y''(t)=2; z''(t)=2+2cos(t^2-1)-4t^2sin(t^2-1)$
Da cui $P(1)=(1,1,1); P'(1)=(1,2,4); P''(1)=(0,2,4)$
E adesso che devo fare?! Ah in programma non abbiamo ancora fatto ne matrici ne determinanti ecc...
Saluti andrea
Risposte
per una curva biregolare in [tex]\mathbb{R}^3[/tex] il piano osculatore è quel piano generato dai due versori [tex]t[/tex] e [tex]n[/tex], tangente e normale.
Il parametro di torsione fa uscire la curva da quel piano.
Il parametro di torsione fa uscire la curva da quel piano.
Quindi in sostanza devo trovare quel piano passante per la derivata prima nel punto interessato e il vettore normale alla derivata sempre il quel punto?! perciò la derivata seconda non serve a niente?
non sono d'accordo...
In [tex]\mathbb{R}^3[/tex] ci sono 2 vettori normali ad uno dato...
Non avete fatto la terna di Frenet? (mi pare si chiamasse così)
Ad ogni modo ci sono 3 vettori importanti per una curva biregolare in [tex]\mathbb{R}^3[/tex]: [tex]t, n, b[/tex] chiamati tangente, normale, binormale
Sia [tex]s[/tex] l'ascissa curvilinea:
il versore tangente lo sai, il normale è definito come [tex]n=\frac{\frac{dt}{ds}}{||\frac{dt}{ds}||}[/tex]
e il binormale è il versore nella direzione [tex]t\times n[/tex]
per ogni punto sulla curva ti ritrovi quindi una terna, che ti "identifica le caratteristiche" della curva, tra cui il piano osculatore
In [tex]\mathbb{R}^3[/tex] ci sono 2 vettori normali ad uno dato...
Non avete fatto la terna di Frenet? (mi pare si chiamasse così)
Ad ogni modo ci sono 3 vettori importanti per una curva biregolare in [tex]\mathbb{R}^3[/tex]: [tex]t, n, b[/tex] chiamati tangente, normale, binormale
Sia [tex]s[/tex] l'ascissa curvilinea:
il versore tangente lo sai, il normale è definito come [tex]n=\frac{\frac{dt}{ds}}{||\frac{dt}{ds}||}[/tex]
e il binormale è il versore nella direzione [tex]t\times n[/tex]
per ogni punto sulla curva ti ritrovi quindi una terna, che ti "identifica le caratteristiche" della curva, tra cui il piano osculatore
Il punto è proprio questo, non abbiamo fatto ne terna di Frenet ne piani osculatori. Abbiamo brevemente ricavato l'eq di un cerchio osculatore usando la formula per ricavare la curvatura di una curva. Forse si tratta semplicemente di un fraintendimento poiché magari questo argomento non è compreso nel programma. Ma avendo trovato questo esercizio in un esame degli anni scorsi mi sono posto il problema. Comunque ti ringrazio ugualmente per la disponibilità!
Prego,
se ti ricavi i vettori tangente e normale, $t(s),n(s)$ il piano osculatore sarà $O(s)=Span{t(s),n(s)}$
ma a questo punto magari non l'avete in programma, o forse (cosa possibilissima) ci sono modi di trovare il piano osculatore per vie geometriche senza passare dalla base di Frenet che IO ignoro.
se ti ricavi i vettori tangente e normale, $t(s),n(s)$ il piano osculatore sarà $O(s)=Span{t(s),n(s)}$
ma a questo punto magari non l'avete in programma, o forse (cosa possibilissima) ci sono modi di trovare il piano osculatore per vie geometriche senza passare dalla base di Frenet che IO ignoro.
Per scrivere l'equazione del piano osculatore basta la derivata prima e la derivata seconda.
Se $P_0$ è un punto della curva e $P'_0$, $P''_0$ sono i due vettori tangenti
il piano osculatore ha equazione parametrica
$((x),(y),(z)) = P_0 + lambda_1 P'_0 + lambda_2 P''_0$
quindi non serve a niente "impazzire" nei calcoli per trovare il vettore normale.
Se $P_0$ è un punto della curva e $P'_0$, $P''_0$ sono i due vettori tangenti
il piano osculatore ha equazione parametrica
$((x),(y),(z)) = P_0 + lambda_1 P'_0 + lambda_2 P''_0$
quindi non serve a niente "impazzire" nei calcoli per trovare il vettore normale.
giusto,
i vettori per trovare l'equazione puoi anche non normalizzarli...
i vettori per trovare l'equazione puoi anche non normalizzarli...
Guarda non è tanto la normalizzazione, ma il fatto che quando consideri la derivata seconda ottieni un vettore
che è combinazione lineare del vettore tangente e della normale!
che è combinazione lineare del vettore tangente e della normale!
vero, così nemmeno devi richiedere l'ascissa curvilinea, giusto?
Ripeto:
per avere l'equazione del piano osculatore ti serve solo la derivata prima e la derivata seconda.
I vettori di giacitura di tale piano sono proprio $P'_0$ e $P''_0$ (ricordati che il piano osculatore
passa da $P_0$...);
alternativamente puoi calcolarti $w = P'_0 \wedge P''_0$ (prodotto vettoriale) e poi scrivere
l'equazione cartesiana del piano osculatore nel seguente modo:
$((x-x_0),(y-y_0),(z-z_0)) \cdot ((w_x),(w_y),(w_z)) = 0$
dove $P_0 = ((x_0),(y_0),(z_0))$ .
per avere l'equazione del piano osculatore ti serve solo la derivata prima e la derivata seconda.
I vettori di giacitura di tale piano sono proprio $P'_0$ e $P''_0$ (ricordati che il piano osculatore
passa da $P_0$...);
alternativamente puoi calcolarti $w = P'_0 \wedge P''_0$ (prodotto vettoriale) e poi scrivere
l'equazione cartesiana del piano osculatore nel seguente modo:
$((x-x_0),(y-y_0),(z-z_0)) \cdot ((w_x),(w_y),(w_z)) = 0$
dove $P_0 = ((x_0),(y_0),(z_0))$ .
Si, ok
ti avevo capito
ti avevo capito
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