Equazione del calore e Trasformata di Fourier

[lecter@]

Buongiorno ragazzi,
Ho cercato praticamente ovunque online ma non riesco a capire quando mi viene data una condizione iniziale (es nel mio esercizio ho f(x)= 1/ 1+ x^4 ) al tempo zero e mi viene chiesto di trovare la soluzione all'equazione del calore.

Ho visto come é la soluzione finale generale, ma non riesco a capire come introdurre la mia fx.

[gugo82]

Viene a dire che il problema è:
\[
\begin{cases} u_t(t,x) = u_{xx}(t,x) &\text{, in } ]0,\infty[\times \mathbb{R}\\
u(0,x) = f(x) = \frac{1}{1+x^4} &\text{, su } \{0\}\times \mathbb{R}
\end{cases}\; ?
\]
Detta \(U(t,\omega)=\mathcal{F}[u(t,\cdot)](\omega)\) la T.d.F. di $u$ rispetto alla variabile spaziale $x$, hai:
\[
\begin{split}
U_t(t,\omega) &= \mathcal{F}[u_t(t,\cdot)](\omega)\\
-\omega^2\ U(t,\omega) &= \mathcal{F}[u_{xx}(t,\cdot)] (\omega)
\end{split}
\]
dunque fourierizzando ambo i membri dell'equazione trovi:
\[
U_t(t,\omega) = -\omega^2\ U(t,\omega)
\]
da cui viene:
\[
\tag{1}
U (t,\omega) = A(\omega)\ \underbrace{e^{-\omega^2 t}}_{=:G(t,\omega)}\; ,
\]
con $A$ funzione incognita da determinare.
D'altra parte, detta $F$ la trasformata di $f$, fourierizzando la condizione iniziale ottieni:
\[
\tag{2}
U(0,\omega) = F(\omega)\; ,
\]
e da (1) e (2) segue:
\[
U(t,\omega) = F(\omega)\ G(t,\omega)\; .
\]
Prendendo l'antitrasformata e tenendo presente che la T.d.F. muta convoluzioni in prodotti, è evidente che:
\[
u(t,x) = f(x)*g(t,x)\; ,
\]
in cui $g(t,x)$ è l'antitrasformata della gaussiana $G(t,\omega)$, la quale è a sua volta una gaussiana (con differente normalizzazione!), anche detta soluzione fondamentale dell'equazione del calore.
Perciò la soluzione del problema si esprime come convoluzione del dato iniziale con la soluzione fondamentale.

L'integrale di convoluzione, il più delle volte, non è calcolabile esplicitamente. Dunque esso fornisce una rappresentazione della soluzione (dalla quale si possono trarre molte informazioni sul comportamento della soluzione), ma raramente un modo effettivo per esprimerla elementarmente.

[lecter@]

Chiarissimo, grazie mille!