Equazione del calore - Derivazione sotto il segno d'integrale
Seguendo J. R. Cannon - The One-Dimensional Heat Equation, sto cercando di dimostrare che, sotto opportune ipotesi su $f=f(\xi)$, l'integrale
\[u(x,t)=\int_{-\infty}^\infty K(x-\xi,t)f(\xi)\,\text{d}\xi\tag{1}\]
converge (per $(x,t)$ in una certa regione del semipiano $RR\times (0,\infty)$) e definisce una soluzione dell'equazione del calore:
\[v_t=v_{xx}\tag{2}\]
Qui
\[K(x,t)=\dfrac{1}{\sqrt{4\pi t}}e^{-x^2/4t}\]
è la soluzione fondamentale dell'equazione suddetta - e come lascia ad intendere il nome, risolve la $(2)$ in tutto il semipiano $RR\times (0,+\infty)$.
Per $f(\xi)=C_1e^{C_2\xi^2}$ (con $C_i>0$) viene fuori che l'integrale nella $(1)$ converge per $(x,t)\in RR\times (0,T]$, per un certo $T>0$; mi resta da dimostrare che $u(x,t)$ risolve la $(2)$ in $RR\times (0,T]$. Su questo fatto Cannon mi liquida in questo modo:
DOMANDA. Non capendo dove entri in ballo la regola di Leibniz, io procedo così: per dimostrare che $u$ è infinitamente derivabile (e successivamente dimostrare che risolve l'equazione), mi pare proprio che debba utilizzare i teoremi di derivazione sotto il segno d'integrale. In particolare quello che ho a portata di mano è il seguente:
Tento di applicare questo teorema per dimostrare, inizialmente, che $u_x(x,t)$ esiste ed è continua per ogni $(x,t)\in RR\times (0,T]$. Fissato $t\in (0,T]$, pongo quindi $g(x,\xi):=K(x-\xi,t)f(\xi)$ ed ho
\[\dfrac{\partial g}{\partial x}(x,\xi)=\dfrac{\partial K}{\partial x}(x-\xi,t)f(\xi)\stackrel{(3)}{=}R(x,\sqrt{t})K(x-\xi,t)f(\xi)=\dfrac{-2(x-\xi)}{4t}K(x-\xi,t)f(\xi)\]
Noto che $g$ e $\partial g "/" \partial x$ sono continue, ma non riesco a trovare una $\gamma(\xi)$ sommabile che maggiora $|\partial g "/" \partial x|$.
CONCLUSIONE. Le cose sono due:
1) $\gamma$ esiste, ma non riesco a trovarla. In tal caso chiedo il vostro aiuto.
2) $\gamma$ NON esiste. In tal caso il Teorema che sto cercando di usare è inapplicabile, e sto sbagliando completamente strada: chiedo nuovamente aiuto.
\[u(x,t)=\int_{-\infty}^\infty K(x-\xi,t)f(\xi)\,\text{d}\xi\tag{1}\]
converge (per $(x,t)$ in una certa regione del semipiano $RR\times (0,\infty)$) e definisce una soluzione dell'equazione del calore:
\[v_t=v_{xx}\tag{2}\]
Qui
\[K(x,t)=\dfrac{1}{\sqrt{4\pi t}}e^{-x^2/4t}\]
è la soluzione fondamentale dell'equazione suddetta - e come lascia ad intendere il nome, risolve la $(2)$ in tutto il semipiano $RR\times (0,+\infty)$.
Per $f(\xi)=C_1e^{C_2\xi^2}$ (con $C_i>0$) viene fuori che l'integrale nella $(1)$ converge per $(x,t)\in RR\times (0,T]$, per un certo $T>0$; mi resta da dimostrare che $u(x,t)$ risolve la $(2)$ in $RR\times (0,T]$. Su questo fatto Cannon mi liquida in questo modo:
"Cannon":
Ricordando che
\[\dfrac{\partial^{n+m} K}{\partial x^n\partial t^m}(x,t)=R_{n,m}(x,\sqrt{t})K(x,t)\tag{3}\]
con $R_{n,m}$ funzione razionale di $x$ e $\sqrt{t}$, dalle considerazioni appena fatte [si riferisce alla convergenza dell'integrale] e dalla regola di Leibniz segue che $u$ è infinitamente derivabile e soddisfa la $(2)$ in $RR\times (0,T]$.
DOMANDA. Non capendo dove entri in ballo la regola di Leibniz, io procedo così: per dimostrare che $u$ è infinitamente derivabile (e successivamente dimostrare che risolve l'equazione), mi pare proprio che debba utilizzare i teoremi di derivazione sotto il segno d'integrale. In particolare quello che ho a portata di mano è il seguente:
Teorema. Sia $g:A\times I\to RR$ (con $A$ aperto di $RR$ e $I$ intervallo illimitato), $g=g(x,\xi)$. Supponiamo che $g$ e $\partial g "/" \partial x$ siano continue in $A\times I$, e che esista una funzione $\gamma=\gamma(\xi)$ sommabile su $I$ tale che
\[\left|\dfrac{\partial g}{\partial x}(x,\xi)\right|\le \gamma(\xi)\]
Allora la funzione
\[G(x)=\int_I g(x,\xi)\, \text{d}\xi\]
è di classe $C^1$ e si ha
\[G'(x)=\int_I \dfrac{\partial g}{\partial x}(x,\xi)\, \text{d}\xi\]
Tento di applicare questo teorema per dimostrare, inizialmente, che $u_x(x,t)$ esiste ed è continua per ogni $(x,t)\in RR\times (0,T]$. Fissato $t\in (0,T]$, pongo quindi $g(x,\xi):=K(x-\xi,t)f(\xi)$ ed ho
\[\dfrac{\partial g}{\partial x}(x,\xi)=\dfrac{\partial K}{\partial x}(x-\xi,t)f(\xi)\stackrel{(3)}{=}R(x,\sqrt{t})K(x-\xi,t)f(\xi)=\dfrac{-2(x-\xi)}{4t}K(x-\xi,t)f(\xi)\]
Noto che $g$ e $\partial g "/" \partial x$ sono continue, ma non riesco a trovare una $\gamma(\xi)$ sommabile che maggiora $|\partial g "/" \partial x|$.
CONCLUSIONE. Le cose sono due:
1) $\gamma$ esiste, ma non riesco a trovarla. In tal caso chiedo il vostro aiuto.
2) $\gamma$ NON esiste. In tal caso il Teorema che sto cercando di usare è inapplicabile, e sto sbagliando completamente strada: chiedo nuovamente aiuto.
Risposte
Finché la funzione integranda ha un decadimento esponenziale in $x$, al derivarla, ottieni sempre una funzione integrabile. Per questo si può applicare il teorema che dici. Quanto alla regola di Leibniz, serve per le derivazioni successive.
[IMHO] In ogni caso su questo io "tirerei via", qui il problema non è la finezza tecnica del derivare sotto il segno di integrale ma la questione molto più concreta della convergenza dell'integrale
\[
\int \frac{1}{\sqrt{4\pi t} \exp\left( -\frac{|x-\xi|^2}{4t} + C_2 |\xi|^2\right) \, d\xi.\]
Se l'integrale converge, il che avviene quando c'è decadimento esponenziale, allora si può derivare a volontà, essenzialmente perché ogni derivazione preserva questo decadimento esponenziale.
[IMHO] In ogni caso su questo io "tirerei via", qui il problema non è la finezza tecnica del derivare sotto il segno di integrale ma la questione molto più concreta della convergenza dell'integrale
\[
\int \frac{1}{\sqrt{4\pi t} \exp\left( -\frac{|x-\xi|^2}{4t} + C_2 |\xi|^2\right) \, d\xi.\]
Se l'integrale converge, il che avviene quando c'è decadimento esponenziale, allora si può derivare a volontà, essenzialmente perché ogni derivazione preserva questo decadimento esponenziale.
Buongiorno dissonance!
Ammesso che derivare sotto il segno d'integrale sia la "strada giusta", per calcolare le derivate successive rispetto a $x,t$ di ciò che sta sotto il segno d'integrale (cioè $K(x-\xi,t)f(\xi)$) mi pare non serva la regola di Leibniz, giacché l'unica funzione da derivare è sempre e solo $K$ (sulle cui derivate Cannon si è già speso nei paragrafi precedenti). O forse mi sto perdendo qualcosa io...
D'accordissimo su questo, infatti ho già sepolto la questione (almeno per il momento). Resta comunque la curiosità di capire la finezza tecnica...e in particolare di trovare quella santissima $\gamma$
PS: credo sia doveroso da parte mia inserire te e qualche altro forumista tra i ringraziamenti
"dissonance":
Quanto alla regola di Leibniz, serve per le derivazioni successive.
Ammesso che derivare sotto il segno d'integrale sia la "strada giusta", per calcolare le derivate successive rispetto a $x,t$ di ciò che sta sotto il segno d'integrale (cioè $K(x-\xi,t)f(\xi)$) mi pare non serva la regola di Leibniz, giacché l'unica funzione da derivare è sempre e solo $K$ (sulle cui derivate Cannon si è già speso nei paragrafi precedenti). O forse mi sto perdendo qualcosa io...
[IMHO] In ogni caso su questo io "tirerei via", qui il problema non è la finezza tecnica del derivare sotto il segno di integrale ma la questione molto più concreta della convergenza dell'integrale
D'accordissimo su questo, infatti ho già sepolto la questione (almeno per il momento). Resta comunque la curiosità di capire la finezza tecnica...e in particolare di trovare quella santissima $\gamma$
PS: credo sia doveroso da parte mia inserire te e qualche altro forumista tra i ringraziamenti
Per la derivata prima sono d'accordo, ma a partire dalla derivata seconda mi pare che compaiano polinomi in $\xi$ che moltiplicano $K$. Comunque non è per niente una cosa importante.
Quanto alla \(\gamma\), qui non c'è da fare un lavoro di fino, qualsiasi stima anche brutale va bene. Per esempio, dimenticandoci di \( t\), per qualunque polinomio $P$ esiste una costante $C$ tale che
\[
|P(x-\xi)e^{-(x-\xi)^2} | \le C e^{-\frac12 (x-\xi)^2}.\]
Questo mi pare ti dia una buona stima
Quanto alla \(\gamma\), qui non c'è da fare un lavoro di fino, qualsiasi stima anche brutale va bene. Per esempio, dimenticandoci di \( t\), per qualunque polinomio $P$ esiste una costante $C$ tale che
\[
|P(x-\xi)e^{-(x-\xi)^2} | \le C e^{-\frac12 (x-\xi)^2}.\]
Questo mi pare ti dia una buona stima
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