Equazione del calore: curve caratteristiche
Buonasera a tutti! 
Sto leggendo J.R. Cannon - The one-dimensional Heat Equation; nel capitolo 1 si deriva l'equazione del calore (in una dimensione spaziale) $u_t=u_{x x}$ a partire da alcuni principi termodinamici e se ne studiano alcune proprietà. Un paragrafo dello stesso capitolo inizia in questo modo:
Non mi è chiara né la definizione data di curva caratteristica per una PDE, né il fatto che, nel caso esaminato, $u$ e $u_t$ non possano essere assegnate indipendentemente su una retta $t="cost"$ (ovvero non mi è evidente quali siano le "condizioni di compatibilità" che sussistono).
Qualcuno sa darmi una mano?
Sto leggendo J.R. Cannon - The one-dimensional Heat Equation; nel capitolo 1 si deriva l'equazione del calore (in una dimensione spaziale) $u_t=u_{x x}$ a partire da alcuni principi termodinamici e se ne studiano alcune proprietà. Un paragrafo dello stesso capitolo inizia in questo modo:
"Cannon":
On a line
\[t=\text{cost}\]
$u$ and $u_t$ cannot be specified indipendently since the equation $u_t=u_{x x}$ forces a compatibility condition on such data. In general theory of partial equations of order $n$, when $u$ and its normal derivative up to order $n-1$ cannot be indipendently specified on a curve, the curve is called charateristic.
Non mi è chiara né la definizione data di curva caratteristica per una PDE, né il fatto che, nel caso esaminato, $u$ e $u_t$ non possano essere assegnate indipendentemente su una retta $t="cost"$ (ovvero non mi è evidente quali siano le "condizioni di compatibilità" che sussistono).
Qualcuno sa darmi una mano?
Risposte
Veditelo sul Folland, "Introduction to PDE", che inizia proprio con questo concetto. Il teorema grosso su questo argomento è quello di Cauchy-Kowalewskaya, ma non ti serve arrivare a tanto.
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