Equazione del calore conv. uniforme soluzione a costante

[Zephir89]

Salve a tutti, ho un problema abbastanza grave mercoledì ho l'esame di analisi 3 e non riesco a risolvere questo problema riguardante l'equazione del calore:

RISOLVERE IL PROBLEMA

$\{((delU)/(delt)-4(del^2U)/(delx^2)=0text{ }00),(U(x;0)= 5+2sin^2xtext{ }0<=x<=pi),((delU)/(delx)(0;t)=(delU)/(delx)(pi;t)=0text{ }t>0):}$

E DIMOSTRARE CHE LA FUNZIONE U(x,t) tende ad una costante uniformemente in [0:$pi$] per $t \to \infty$ SPECIFICANDO IL VALORE DI TALE COSTANTE

Si tratta di un problema di Cauchy-Neumann omogeneo con condizioni al contorno omogenee; l'equazione di per se si risolve abbastanza agevolmente e dovrebbe risultare

$\a_0=12$
$\a_k=frac{8[1-(-1)^k]}(kpi(k^2-4))$ Che è diverso da zero solo se $\k=2m+1$

quindi

$\U(x,t)= 6+\sum_{m=0}^\infty\frac{16}{pi(2m+1)[(2m+1)^2-4]}e^(-4(2m+1)^2t)cos[(2m+1)x]$

la parte della costante è quella che mi resta difficile.. non sapendo dove mettere le mani ho pensato che visto che t va ad infinito e che il coseno è compreso sempre tra -1 e 1 di maggiorare la soluzione con

$\U(x,t)= 6+\sum_{m=0}^\infty\frac{16}{pi(2m+1)[(2m+1)^2-4]}e^(-4(2m+1)^2t)cos[(2m+1)x]<= 6+\sum_{m=0}^\infty\frac{16}{pi(2m+1)[(2m+1)^2-4]}$

E quindi usare l'identità di parseval

$\frac{a_0^2}{2}+sum_{k=1}^\infty\a_k^2+b_k^2=frac(2)(pi)\int_{0}^{pi} |f(x)|^2 dx$

che applicata al mio caso mi da

$\72+sum_{m=0}^\infty\(frac{16}{pi(2m+1)[(2m+1)^2-4]))^2=frac(2)(pi)\int_{0}^{pi} |5+sin^2x|^2 dx=73$

Quindi

$\sum_{m=0}^\infty\(frac{16}{pi(2m+1)[(2m+1)^2-4]))^2=73-72=1$

e allora

$\U(x,t)<= 6+\sum_{m=0}^\infty\frac{16}{pi(2m+1)[(2m+1)^2-4]}=6+1=7$

e per me tale costante vale proprio 7. non ci spero ma è giusto il procedimento ?? vi prego aiutatemi

[ciampax]

Ho una domanda: ma tu sei sicuro che sia quella la soluzione? Perché usando la separazione di variabili $u(x,t)= F(x)\cdot G(t)$ si ricava $F\dot{G}-4 F'' G=0$ e quindi, per $F$, l'equazione differenziale $F''=-p^2 F$ con le condizioni $F(0)=F(\pi)=0$. Dal momento che l'equazione ha soluzione generale $F(x)=A\cos(px)+B\sin(px)$, sfruttando le condizioni mi sembra che le soluzioni debbano essere $F_n=\sin(n x)$ con $p=n\in NN$ e quindi che tu debba avere una serie di soli seni! A questo punto si ha pure $\dot G=-4n^2 G$ e quindi $G_n(t)=a_n e^{-4n^2 t}$ da cui la soluzione

$u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty a_n e^{-4n^2 t}\sin(nx)$

Avendosi pure $u(x,0)=5+2\sin^2 x$ deve essere

$5+2\sin^2 x=\sum_{n=1}^\infty a_n\sin(nx)$

e quindi

$a_n=2/\pi\int_0^\pi (5+2\sin^2 x)\sin(nx)\ dx=2/\pi\int_0^\pi (6-\cos(2x))\sin(nx)\ dx$