Equazione del calore - Classe di Tychonoff
Salve ragazzi ho difficoltà con la classe di Tychonoff.
Ho da svolgere il seguente esercizio: Individuare la soluzione classica (nella classe di Tychonoff) del problema:
$ { ( u_t-u_(x x)=0 ;x in R ;t>0 ),( u(x,0)=e^(9x)):} $
e specificare l'insieme di esistenza.
Ho trovato la soluzione svolgendo l'integrale che è: $ e^(9x+81t) $
Mi manca la parte più teorica. Da quello che so la condizione di appartenenza alla classe di Tychonoff è:
$ abs(g(x))<=Ae^(ax^2) $ $ AA x in R $ e che $ g(x) $ sia continua in R.
IN questo caso $ g(x)=e^(9x) $.
Come faccio a dimostrare che appartiene alla classe di Tychonoff e quindi di conseguenza determinare l'insieme di esistenza?
Grazie in anticipo
Ho da svolgere il seguente esercizio: Individuare la soluzione classica (nella classe di Tychonoff) del problema:
$ { ( u_t-u_(x x)=0 ;x in R ;t>0 ),( u(x,0)=e^(9x)):} $
e specificare l'insieme di esistenza.
Ho trovato la soluzione svolgendo l'integrale che è: $ e^(9x+81t) $
Mi manca la parte più teorica. Da quello che so la condizione di appartenenza alla classe di Tychonoff è:
$ abs(g(x))<=Ae^(ax^2) $ $ AA x in R $ e che $ g(x) $ sia continua in R.
IN questo caso $ g(x)=e^(9x) $.
Come faccio a dimostrare che appartiene alla classe di Tychonoff e quindi di conseguenza determinare l'insieme di esistenza?
Grazie in anticipo
Risposte
Beh, dai, non mi sembra difficile determinare due costanti $a,A>0$ tali che $e^{9x}\le Ae^{ax^2}$... Si trovano anche "a occhio". 
Si ok ma a parte che io non la vedo ad occhio, se volessi scriverlo precisamente in linguaggio matematico ed usare un metodo valido in tutti gli esercizi come dovrei fare?
Se faccio $ lim_(x -> +oo )(e^(9x)/e^(ax^2))<=A $ trovo che a $ +oo $ (stessa cosa a $ -oo $) la disuguaglianza è verificata $ AA a $ , visto che il limite tende a 0. E in mezzo, cioè nell'intervallo $ (-oo;+oo ) $ come dimostro che è valida quella disuguaglianza?
Se faccio $ lim_(x -> +oo )(e^(9x)/e^(ax^2))<=A $ trovo che a $ +oo $ (stessa cosa a $ -oo $) la disuguaglianza è verificata $ AA a $ , visto che il limite tende a 0. E in mezzo, cioè nell'intervallo $ (-oo;+oo ) $ come dimostro che è valida quella disuguaglianza?
Dato che $A$ la vuoi positiva, puoi pensare che $A=e^\alpha$ con $\alpha \in \RR$ da determinare opportunamente.
Fatto ciò e sostituito $A=e^\alpha$, la disuguaglianza che vuoi provare si trasforma in:
\[
e^{9x}\leq e^{ax^2+\alpha}\qquad \forall x\in \mathbb{R}\; .
\]
Affinché tale disuguaglianza sia vera ovunque c'è bisogno che $a$ ed $\alpha$ siano scelte in modo che la disuguaglianza:
\[
ax^2 +\alpha \geq 9x
\]
sia vera per ogni $x\in \RR$; tale disuguaglianza è soddisfatta non appena il polinomio $ax^2-9x+\alpha$ ha discriminante $\Delta \leq 0$, cioè non appena $81-4a\alpha \leq 0$; dato che quest'ultima disequazione in due incognite ha soluzioni che occupano una regione molto vasta di $]0,+oo[\ xx \RR$, puoi determinare tantissime coppie $(a,\alpha)$ che la soddisfino e, conseguentemente, puoi determinare tantissime maggioranti di tipo esponenziale quadratico del tuo dato iniziale.
Ad esempio, se scegli $a=1$ e $\alpha =81/4$ hai evidentemente:
\[
x^2+\frac{81}{4}\geq 9x\qquad \forall x\in \mathbb{R}
\]
dunque puoi concludere che la maggiorante che ti serve per il tuo dato iniziale è $e^{81/4+ x^2}$.
Fatto ciò e sostituito $A=e^\alpha$, la disuguaglianza che vuoi provare si trasforma in:
\[
e^{9x}\leq e^{ax^2+\alpha}\qquad \forall x\in \mathbb{R}\; .
\]
Affinché tale disuguaglianza sia vera ovunque c'è bisogno che $a$ ed $\alpha$ siano scelte in modo che la disuguaglianza:
\[
ax^2 +\alpha \geq 9x
\]
sia vera per ogni $x\in \RR$; tale disuguaglianza è soddisfatta non appena il polinomio $ax^2-9x+\alpha$ ha discriminante $\Delta \leq 0$, cioè non appena $81-4a\alpha \leq 0$; dato che quest'ultima disequazione in due incognite ha soluzioni che occupano una regione molto vasta di $]0,+oo[\ xx \RR$, puoi determinare tantissime coppie $(a,\alpha)$ che la soddisfino e, conseguentemente, puoi determinare tantissime maggioranti di tipo esponenziale quadratico del tuo dato iniziale.
Ad esempio, se scegli $a=1$ e $\alpha =81/4$ hai evidentemente:
\[
x^2+\frac{81}{4}\geq 9x\qquad \forall x\in \mathbb{R}
\]
dunque puoi concludere che la maggiorante che ti serve per il tuo dato iniziale è $e^{81/4+ x^2}$.
OK. Quindi in questo caso ho insieme di esistenza $ R $ $ x $ $ (0;+oo ) $? Perchè posso scegliere ogni $ a>0 $ e quindi la condizione di Tychonoff $ T<1/(4a) $ per $ a->0^+ $ tende a $ +oo $ ?
Ma la soluzione la vedi a occhio che è definita ovunque in $RR xx [0,+oo[$... Quindi perché tanti problemi?
Perchè all'esame la prof. non credo si accontenti di una semplice giustificazione ad occhio 
Ok... Però quello che intendevo era il seguente fatto: se hai già la soluzione in forma elementare esplicita, non c'è bisogno di ricorrere a teoremi per determinarne l'insieme di definizione; basta fare due conti.
La cosa cambia quando non hai un'espressione esplicita elementare per la soluzione: in tal caso i teoremi ti danno una mano a dire, pur non conoscendo la soluzione, fin dove essa è definita.
Nel caso in esame, non conosco il teorema che stai usando, però "a occhio" credo che il tuo ragionamento vada bene.
La cosa cambia quando non hai un'espressione esplicita elementare per la soluzione: in tal caso i teoremi ti danno una mano a dire, pur non conoscendo la soluzione, fin dove essa è definita.
Nel caso in esame, non conosco il teorema che stai usando, però "a occhio" credo che il tuo ragionamento vada bene.
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