Equazione curiosa tra funzioni
Supponiamo di avere assegnata una funzione reale $g : RR -> RR$. Siano $a,b in RR$ numeri fissati.
Vorrei trovare le funzioni $f : RR -> RR$ tali che
$forall x in RR, \ \ f(x) + b f(x+a) = g(x)$.
C'è qualche metodo generale anche solo per $b = pm 1$?
[Equazioni di questo tipo mi escono fuori nella risoluzione di esercizi sulla trasmissione dei segnali in un cavo]
Vorrei trovare le funzioni $f : RR -> RR$ tali che
$forall x in RR, \ \ f(x) + b f(x+a) = g(x)$.
C'è qualche metodo generale anche solo per $b = pm 1$?
[Equazioni di questo tipo mi escono fuori nella risoluzione di esercizi sulla trasmissione dei segnali in un cavo]
Risposte
"NightKnight":
C'è qualche metodo generale$?
mi viene in mente il metodo grafico, ma credo che, a seconda del tipo di funzioni, ce ne siano altri.
Prova a postare qualcuna di queste equazioni e vediamo.
Io invece ho qualche dubbio sul fatto che si possano enunciare teoremi di esistenza e unicità per queste equazioni. Se volessi un dominio discreto, ovvero $x\inaZZ$, no problem, diventano equazioni alle differenze del primo ordine e c'è tutta una teoria dietro. Ma con il dominio continuo non saprei. Forse se i dati iniziali fossero della forma
$f(x)=f_0(x),\quad x\in[-delta, delta]$
qualcosa si potrebbe fare.
$f(x)=f_0(x),\quad x\in[-delta, delta]$
qualcosa si potrebbe fare.
"dissonance":
Io invece ho qualche dubbio sul fatto che si possano enunciare teoremi di esistenza e unicità per queste equazioni...
Chiedo scusa, temo di avere banalizzato la domanda di NightKnight. Pensavo ad un problema di soluzioni approssimate per esercizi di fisica.
Ah non lo so, piero, può essere invece che io la sto buttando inutilmente sul pesante. In effetti per certe scelte di $f, g$, per esempio se $f, g$ sono dei polinomi, queste diventano equazioni algebriche prive di particolare difficoltà.
@NightKnight
Hai parlato di trasmissioni di un segnale in un cavo, evidentemente stai trattando la propagazione guidata.
Specifica meglio l'esercizio di partenza.
Hai parlato di trasmissioni di un segnale in un cavo, evidentemente stai trattando la propagazione guidata.
Specifica meglio l'esercizio di partenza.
Scusate il ritardo della mia risposta.
Eviterei di riportare l'esercizio di partenza visto che siamo nella sezione "Analisi" e vi riporto quello che non sono in grado di risolvere:
siano $l,v,V^0,T$ numeri reali fissati e sia $V_g$ la funzione reale di variabile reale così definita:
$V_g \ (t) = V^0$ per $0 \leq t \leq T$ e $V_g \ (t)=0$ altrimenti (è uno scalino alto $V^0$ e lungo $T$).
Cerco due funzioni $V_1,V_2$ di una variabile reale tali che per ogni $t \in RR$ valga
$0= V_1(l-vt) + V_2(l +vt)$
$V_g \ (t) = V_1(-vt) + V_2(vt)$.
Dalla prima: $V_2 (l + vt) = - V_1 (l-vt)$ allora $V_2 (vt) = V_2 (l + v(t- l/v)) = - V_1(l - v(t-l/v))$ e sostituendo nella seconda ricavo
$V_g \ (t) = V_1 (-vt) - V_1 (2l - vt)$
che è un'equazione del tipo riportato nel primo post.
Eviterei di riportare l'esercizio di partenza visto che siamo nella sezione "Analisi" e vi riporto quello che non sono in grado di risolvere:
siano $l,v,V^0,T$ numeri reali fissati e sia $V_g$ la funzione reale di variabile reale così definita:
$V_g \ (t) = V^0$ per $0 \leq t \leq T$ e $V_g \ (t)=0$ altrimenti (è uno scalino alto $V^0$ e lungo $T$).
Cerco due funzioni $V_1,V_2$ di una variabile reale tali che per ogni $t \in RR$ valga
$0= V_1(l-vt) + V_2(l +vt)$
$V_g \ (t) = V_1(-vt) + V_2(vt)$.
Dalla prima: $V_2 (l + vt) = - V_1 (l-vt)$ allora $V_2 (vt) = V_2 (l + v(t- l/v)) = - V_1(l - v(t-l/v))$ e sostituendo nella seconda ricavo
$V_g \ (t) = V_1 (-vt) - V_1 (2l - vt)$
che è un'equazione del tipo riportato nel primo post.
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