Equazione con radici in campo complesso ?
(z-1)^3=-1
Come risolvo questa equazione in campo complesso ?
Risultato : -1+i, 1/2+i(1±1/2sqrt(3))
Io riesco a risolvere quelle tipo z^3=8, ma qui compaiono più fattori z e quindi non so come risolverla.
Grazie
Come risolvo questa equazione in campo complesso ?
Risultato : -1+i, 1/2+i(1±1/2sqrt(3))
Io riesco a risolvere quelle tipo z^3=8, ma qui compaiono più fattori z e quindi non so come risolverla.
Grazie
Risposte
È la stessa cosa ... poni $z-1=w$ ...
"axpgn":
È la stessa cosa ... poni $z-1=w$ ...
Puoi soltanto impostarla ?
Seriously?
$w^3= -1$
Hai detto che sai risolverla ...
$w^3= -1$
Hai detto che sai risolverla ...
"axpgn":
Seriously?
$w^3= -1$
Hai detto che sai risolverla ...
Con W0 mi esce [1+isqrt(3)]/2 . Come mai non mi trovo con il risultato ?
Non si capisce niente, scrivi le formule come si deve ...
Quali sono i tre valori di $w$? Hai detto che sai risolverla, no? E allora dai ...
Quali sono i tre valori di $w$? Hai detto che sai risolverla, no? E allora dai ...
"axpgn":
Non si capisce niente, scrivi le formule come si deve ...
Quali sono i tre valori di $w$? Hai detto che sai risolverla, no? E allora dai ...
W0 = [1+isqrt(3)]/2
W1 = [-1]
W2 = [1-isqrt(3)]/2
Scusami ma il forum non lo uso spesso e quindi non sono molto pratico. Comunque sqrt sta per radice.
Le formule vanno scritte come si deve, dopo trenta messaggi poi è obbligatorio, tra l'altro, generalmente è sufficiente racchiuderle tra i simboli del dollaro ... inoltre per rispondere si usa il tasto "rispondi" non il tasto "cita" che serve per "quotare" (e per imparare a scrivere le formule guadando cosa hanno scritto gli altri).
I tre valori che hai postato sono giusti, adesso che hai trovato $w$, trova $z$ ...
I tre valori che hai postato sono giusti, adesso che hai trovato $w$, trova $z$ ...
Cosa imposto per trovare z ?
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
... cosa ho scritto all'inizio? da dove è saltata fuori $w$? Non dirmi che non sai risolvere $z-1=w$ ...
Ok grazie mille, ho risolto.
Mi ha incuriosito la domanda dato che sto approcciando ora l'argomento.
Ma conviene svolgerla passando alle polari?
Grazie a entrambi per le eventuali risposte.
Ma conviene svolgerla passando alle polari?
Grazie a entrambi per le eventuali risposte.
Ciao caterpig,
Mah, dopo la comoda sostituzione già suggerita da axpgn, io avrei fatto così:
$w^3 = - 1 \implies w^3 + 1^3 = 0 \implies (w + 1)(w^2 - w + 1) = 0 $
Annullando il primo fattore si trova subito la soluzione $w_1 = - 1$. Per trovare le altre due soluzioni basta risolvere l'equazione di secondo grado seguente:
$w^2 - w + 1 = 0 $
Essendo $\Delta = - 3 < 0 $, le altre due soluzioni sono complesse coniugate:
$w_{2,3} = frac{1 \pm i sqrt{3}}{2} $
dalle quali poi è semplice trovare $z = 1 + w $.
Mah, dopo la comoda sostituzione già suggerita da axpgn, io avrei fatto così:
$w^3 = - 1 \implies w^3 + 1^3 = 0 \implies (w + 1)(w^2 - w + 1) = 0 $
Annullando il primo fattore si trova subito la soluzione $w_1 = - 1$. Per trovare le altre due soluzioni basta risolvere l'equazione di secondo grado seguente:
$w^2 - w + 1 = 0 $
Essendo $\Delta = - 3 < 0 $, le altre due soluzioni sono complesse coniugate:
$w_{2,3} = frac{1 \pm i sqrt{3}}{2} $
dalle quali poi è semplice trovare $z = 1 + w $.
@caterpig
Sinceramente non so cosa ci sia di più semplice che calcolare le tre radici cubiche di $-1$ (che si trovano pure "a occhio", senza fare conti) e poi risolvere (si fa per dire) $w=z-1$ .... IMHO ....
Sinceramente non so cosa ci sia di più semplice che calcolare le tre radici cubiche di $-1$ (che si trovano pure "a occhio", senza fare conti) e poi risolvere (si fa per dire) $w=z-1$ .... IMHO ....
Tra l'altro a me il risultato che hai scritto all'inizio sembra sbagliato, almeno in parte. Una soluzione dovrebbe essere $z=0$.
Ciao Ernesto01,
Beh, ma infatti è proprio così: dato che $w_1 = - 1 $, essendo $z = 1 + w $ si trova proprio $z_1 = 0 $.
Beh, ma infatti è proprio così: dato che $w_1 = - 1 $, essendo $z = 1 + w $ si trova proprio $z_1 = 0 $.
No certo, intendevo il risultato che ha scritto l'autore del topic nel primissimo post
Sì, hai ragione, adesso che vedo nell'OP le soluzioni sono tutte errate... 
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