Equazione con parametro
Salve a tutti, scrivo perchè non ho capito che metodo adottare per risolvere la seguente equazione con parametro
$ x^3 +x^2 +3 = \lambdax $
Ringrazio tutti colore che mi aiuteranno
$ x^3 +x^2 +3 = \lambdax $
Ringrazio tutti colore che mi aiuteranno
Risposte
Beh,il problema è equivalente a quello di studiare,al variare di $lambda in RR$,le intersezioni tra il grafico della funzione $"f(x)=x"^"3"+"x"^"2 "" : "RR to RR$ ed il fascio improprio di rette d'equazione $"y="lambda"x-3"$..
Saluti dal web.
Saluti dal web.
Va bene, ma non ho ancora capito come dovrei fare lo studio
Lo studio di una funzione reale di variabile reale è un esercizio alquanto "standard":
dove trovi difficoltà?
Saluti dal web.
dove trovi difficoltà?
Saluti dal web.
Trovo difficoltà nello studio di $ y=\lambdax -3 $. Non so come dovrei studiarla essendoci $ \lambda $
ciao,
io studierei la funzione $f(x)=x^3+x^2-\lambda x +3$, prestando particolare attenzione al minimo locale...
io studierei la funzione $f(x)=x^3+x^2-\lambda x +3$, prestando particolare attenzione al minimo locale...
Si può anche fare, ma non so come comportarmi con $ \lambdax $
Ma devi trovare le soluzioni analitiche dell'equazione? soluzioni approssimate? Oppure devi solo trovare (come penso sia) il numero delle soluzioni (e magari il loro segno) al variare del parametro $\lambda$?
Devo trovare il numero e il segno delle soluzioni al variare di $ \lambda $
non capisco allora quale sia il problema... non hai mai lavorato con i parametri?
$\lambda$ è un semplice parametro che moltiplica la $x$. Studia la funzione a prescindere dal parametro (consideralo una costante), e a posteriori vedi come i risultati ottenuti variano al variare del parametro $\lambda$ (in particolar modo come varia il minimo)...
$\lambda$ è un semplice parametro che moltiplica la $x$. Studia la funzione a prescindere dal parametro (consideralo una costante), e a posteriori vedi come i risultati ottenuti variano al variare del parametro $\lambda$ (in particolar modo come varia il minimo)...
Non ho mai lavorato con i parametri e quindi non so che fare. Non so come mi devo comportare nello studio della funzione.
Non c'è nemmeno bisogno di fare un grande studio di funzione... anzi.
Io l'ho risolta così, spero ti sia d'aiuto.
L'equazione la considero come $x^3+x^2=lambdax-3$
posso scriverla come: $x^2(x+1)=lambdax-3$
la cubica ha un punto di tangenza in $x=0$ con l'asse delle ascisse e un altro zero in $x=-1$
fare la derivata e semplice, e così la disegni qualitativamente.
(se segui quello che sto scrivendo ti consiglio di fare questa bozza del grafico
)
la retta è un fascio proprio di centro $C(0,-3)$ ora concentrati sul semipiano negativo delle ascisse(è il più semplice al momento). A occhio si vede subito una cosa.
quella retta è abbastanza banale ed è una retta passante per i punti $P(-1,0)$ e $Q(0,-3)$
$lambda=(-3-0)/(0-(-1))=-3$ dunque per $lambda=-3$ c'è una sola soluzione negativa.
Ora se $lambda<-3$ la retta interseca la curva sempre in un solo punto.
se $lambda=0$ la retta interseca sempre in un punto negativo.
quindi possiamo dire intanto che se $lambdaleq0$ c'è solo una soluzione.
Adesso dobbiamo considerare il caso $lambda>0$
quì non possiamo sapere un punto preciso per cui passi la retta, perché la cubica l'abbiamo disegnata 'ad muzzum' quindi io ragiono così: se riuscissi a sapere quando è tangente, potrei sapere quando è secante o quando è esterna, allora cerchiamo la retta tangente alla curva passante per il punto $(0,-3)$
dunque la retta passerà per $P(0,-3)$ e $(c,c^3+c^2)$ con quale coefficiente angolare? quello della retta tangente, che troviamo calcolando la derivata nel punto $c$
$f'(c)=3c^2+2c$ impostiamo la retta:
$((c^3+c^2)-(-3))=(3c^2+2c)(c-0) => c^3+c^2+3=3c^3+2c^2 => 2c^3+c^2-3=0$
c'è uno punto in cui si annulla che è banalissimo, ovvero $c=1$
scomponiamo il polinomio per ottenere maggiori informazioni:
$2c^3+c^2-3=(c-1)(2c^2+3c+3)$ il secondo polinomio è irriducibile poiché $Delta<0$ dunque $c=1$ è l'unica soluzione
$f'(1)=3+2=5$ dunque per $lambda=5$ la retta $y=lambdax-3$ è tangente alla cubica.
quindi:
per $lambda=5$ ci sono $3$ soluzioni, due positive(doppie, date dalla tangenza) e una negativa.
per $lambda>5$ ci sono $3$ soluzioni distinte, due positive e una negativa.
per $lambda<5$ c'è una sola soluzione negativa.
Io l'ho risolta così, spero ti sia d'aiuto.
L'equazione la considero come $x^3+x^2=lambdax-3$
posso scriverla come: $x^2(x+1)=lambdax-3$
la cubica ha un punto di tangenza in $x=0$ con l'asse delle ascisse e un altro zero in $x=-1$
fare la derivata e semplice, e così la disegni qualitativamente.
(se segui quello che sto scrivendo ti consiglio di fare questa bozza del grafico
)la retta è un fascio proprio di centro $C(0,-3)$ ora concentrati sul semipiano negativo delle ascisse(è il più semplice al momento). A occhio si vede subito una cosa.
quella retta è abbastanza banale ed è una retta passante per i punti $P(-1,0)$ e $Q(0,-3)$
$lambda=(-3-0)/(0-(-1))=-3$ dunque per $lambda=-3$ c'è una sola soluzione negativa.
Ora se $lambda<-3$ la retta interseca la curva sempre in un solo punto.
se $lambda=0$ la retta interseca sempre in un punto negativo.
quindi possiamo dire intanto che se $lambdaleq0$ c'è solo una soluzione.
Adesso dobbiamo considerare il caso $lambda>0$
quì non possiamo sapere un punto preciso per cui passi la retta, perché la cubica l'abbiamo disegnata 'ad muzzum' quindi io ragiono così: se riuscissi a sapere quando è tangente, potrei sapere quando è secante o quando è esterna, allora cerchiamo la retta tangente alla curva passante per il punto $(0,-3)$dunque la retta passerà per $P(0,-3)$ e $(c,c^3+c^2)$ con quale coefficiente angolare? quello della retta tangente, che troviamo calcolando la derivata nel punto $c$
$f'(c)=3c^2+2c$ impostiamo la retta:
$((c^3+c^2)-(-3))=(3c^2+2c)(c-0) => c^3+c^2+3=3c^3+2c^2 => 2c^3+c^2-3=0$
c'è uno punto in cui si annulla che è banalissimo, ovvero $c=1$
scomponiamo il polinomio per ottenere maggiori informazioni:
$2c^3+c^2-3=(c-1)(2c^2+3c+3)$ il secondo polinomio è irriducibile poiché $Delta<0$ dunque $c=1$ è l'unica soluzione
$f'(1)=3+2=5$ dunque per $lambda=5$ la retta $y=lambdax-3$ è tangente alla cubica.
quindi:
per $lambda=5$ ci sono $3$ soluzioni, due positive(doppie, date dalla tangenza) e una negativa.
per $lambda>5$ ci sono $3$ soluzioni distinte, due positive e una negativa.
per $lambda<5$ c'è una sola soluzione negativa.
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