Equazione con numeri complessi..è corretta?
salve!! come si risolve l'equazione $x^3+sqrt(3)(\bar z)=0$ dove $\bar z=1+i$??
$x^3=-sqrt(3)(1+i)$ da cui $x=root(3)(-sqrt(3)(1+i))$ e poi? Non riesco a continuare...
grazie!
$x^3=-sqrt(3)(1+i)$ da cui $x=root(3)(-sqrt(3)(1+i))$ e poi? Non riesco a continuare...
grazie!
Risposte
Si tratta di estrarre le tre radici terze complesse del secondo membro della penultima uguaglianza.
Se conosci la formuletta te la sbrighi in due minuti.
Ovviamente ti converrebbe scrivere quel secondo membro in rappresentazione polare.
Se conosci la formuletta te la sbrighi in due minuti.
Ovviamente ti converrebbe scrivere quel secondo membro in rappresentazione polare.
scusa Gugo82 qual è la formuletta? e il secondo membro come si scrive in rappresentazione polare?
scusa il disturbo..grazie!!
scusa il disturbo..grazie!!
"bius88":
il secondo membro come si scrive in rappresentazione polare?
Forse preferisci chiamarla forma goniometrica o forma esponenziale, in ogni caso una forma in cui siano applicabili le formule di De Moivre.
Le soluzioni di un'equazione del tipo $x^n=a$ sono i numeri complessi $root(n)(|a|) * theta_k$ al variare di $k$ in $ZZ$, dove $theta_k$ e' l'elemento di modulo $1$ e argomento $(arg(a))/n k$ (in altre parole $theta_k = cos((arg(a))/n k)+i * sin((arg(a))/n k)$). La convenzione e' che $arg(1)=2 pi$ (e non $0$).
Geometricamente si tratta di troncare $a$ sul cerchio di raggio $1$ e poi considerare tutti i multipli dell'argomento diviso per $n$ (che verranno ad essere proprio $n$).
Geometricamente si tratta di troncare $a$ sul cerchio di raggio $1$ e poi considerare tutti i multipli dell'argomento diviso per $n$ (che verranno ad essere proprio $n$).
provo a continuare l'esercizio:
....quindi $x=root(3)|(-sqrt(3)(1+i))|*\theta_k$;
$n=3$ dunque $k=0,1,2$
Ora devo calcolare $\rho'$; essendo $z= |-sqrt(3)(1+i)|$ cioè $sqrt(3)(1+i)$ .........$\rho'=sqrt((sqrt(3))^2+(sqrt(3))^2)=sqrt(3+3)=sqrt(6)$
$\rho=root(3)(sqrt(6))=root(6)(6)$
e ora come calcolo $\theta_0,\theta_1,\theta_2$?
Grazie 1000!
....quindi $x=root(3)|(-sqrt(3)(1+i))|*\theta_k$;
$n=3$ dunque $k=0,1,2$
Ora devo calcolare $\rho'$; essendo $z= |-sqrt(3)(1+i)|$ cioè $sqrt(3)(1+i)$ .........$\rho'=sqrt((sqrt(3))^2+(sqrt(3))^2)=sqrt(3+3)=sqrt(6)$
$\rho=root(3)(sqrt(6))=root(6)(6)$
e ora come calcolo $\theta_0,\theta_1,\theta_2$?
Grazie 1000!
la formula se non sbaglio è $\theta_k=(\theta+2k\pi)/n$ ma sostituendo ad $n=3$ e a $k=0,1,2$ il risultato non esce....
Come si deve fare allora?
grazie!!
Come si deve fare allora?
grazie!!
i risultati che mi escono sono questi:
$\theta_0=(-\pi/4+(2*0)\pi)/3=(-\pi/4)/3=-\pi/12$
$\theta_1=(-\pi/4+2\pi)/3=((7\pi)/4)/3=(7\pi)/12$
$\theta_2=(-\pi/4+4\pi)/3=((15\pi)/4)/3=(15\pi)/12=(5\pi)/4$
purtroppo quelli giusti sono diversi...dove ho sbagliato?
grazie
$\theta_0=(-\pi/4+(2*0)\pi)/3=(-\pi/4)/3=-\pi/12$
$\theta_1=(-\pi/4+2\pi)/3=((7\pi)/4)/3=(7\pi)/12$
$\theta_2=(-\pi/4+4\pi)/3=((15\pi)/4)/3=(15\pi)/12=(5\pi)/4$
purtroppo quelli giusti sono diversi...dove ho sbagliato?
grazie
ho risolto...si trattava di trasformare $-\pi/4$ in $(5\pi)/4$!
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