Equazione con numeri complessi
ragazzi ho una decina di compiti sui quali mi sto esercitando dv su alcuni c sono esercizi di numeri complessi tipo trovare la radice di un semplice numero complesso in forma trigonometrica, che so fare abbastanza bene, ma su altri c sono equazioni dove nn sò come si prosegue una volta trovata la radice, per scriverla in forma trigonometrica.
Qualcuno potrebbe frami vedere almeno uno ad esempio: $z^4-1-isqrt(3)=0$
bisogna calcolare le radici complesse e poi esprimere il risultato in forma trigonometrica
grazie...
Qualcuno potrebbe frami vedere almeno uno ad esempio: $z^4-1-isqrt(3)=0$
bisogna calcolare le radici complesse e poi esprimere il risultato in forma trigonometrica
grazie...
Risposte
ho provato a svolgere la prima parte in maniera tradizionale ( $z=a+ib$ potenza del binomio e poi il sistema uguagliando a zero le parti reale e immaginaria...)
ho usato parecchia "manipolazione algebrica"... non è opportuno che ti scriva ora tutti i passaggi (prova a scrivere tu qualcosa, magari nel pomeriggio ci possiamo risentire per qualche scambio di opinioni) ....
io ho lavorato per lo più con $a^2$ e $b^2$. stai attenta, quando scrivi la quarta potenza del binomio (se ti trovi meglio, puoi fare anche due volte il quadrato), alle potenze dell'unità immaginaria $i$... ho ottenuto 4 coppie di valori (i segni + e - sono interscambiabili):
$a=+-sqrt(sqrt(8)+sqrt(6))/2$ , $b=+-sqrt(sqrt(8)-sqrt(6))/2$ ... ciao.
ho usato parecchia "manipolazione algebrica"... non è opportuno che ti scriva ora tutti i passaggi (prova a scrivere tu qualcosa, magari nel pomeriggio ci possiamo risentire per qualche scambio di opinioni) ....
io ho lavorato per lo più con $a^2$ e $b^2$. stai attenta, quando scrivi la quarta potenza del binomio (se ti trovi meglio, puoi fare anche due volte il quadrato), alle potenze dell'unità immaginaria $i$... ho ottenuto 4 coppie di valori (i segni + e - sono interscambiabili):
$a=+-sqrt(sqrt(8)+sqrt(6))/2$ , $b=+-sqrt(sqrt(8)-sqrt(6))/2$ ... ciao.
"endurance":
ragazzi ho una decina di compiti sui quali mi sto esercitando dv su alcuni c sono esercizi di numeri complessi tipo trovare la radice di un semplice numero complesso in forma trigonometrica, che so fare abbastanza bene, ma su altri c sono equazioni dove nn sò come si prosegue una volta trovata la radice, per scriverla in forma trigonometrica.
Qualcuno potrebbe frami vedere almeno uno ad esempio: $z^4-1-isqrt(3)=0$
bisogna calcolare le radici complesse e poi esprimere il risultato in forma trigonometrica
grazie...
$z^4=1+isqrt(3)=0$
Ma $1+isqrt(3)=2e^(i*(pi/3))$
per cui applicando de Moivre $z_(k=0,k=1,k=2,k=3)=2^(1/4)e^(i*(1/4)*(pi/3+2kpi))$ per cui
$z_(k=0)=2^(1/4)e^(i*(pi/12))$
$z_(k=1)=2^(1/4)e^(i*((7pi)/12))$
$z_(k=2)=2^(1/4)e^(i*((13pi)/12))$
$z_(k=3)=2^(1/4)e^(i*((19pi)/12))$
... molto carino ... grazie anche da parte mia.
certo che, è vero che sono fuori allenamento, ma gli indizi c'erano tutti per ricorrere a queato metodo (in questo caso particolare, almeno).
ora sarò "costretta a divertirmi" un po' per controllare se almeno i risultati ottenuti con i due metodi coincidono...
ciao.
certo che, è vero che sono fuori allenamento, ma gli indizi c'erano tutti per ricorrere a queato metodo (in questo caso particolare, almeno).
ora sarò "costretta a divertirmi" un po' per controllare se almeno i risultati ottenuti con i due metodi coincidono...
ciao.
come promesso, ho ricontrollato i calcoli e verificato la coincidenza della soluzione base con i due metodi:
con $a$ e $b$ trovati da me con i segni entrambi positivi, la soluzione è la stessa $z_(k=0)$ di nicola de rosa. il problema sorge sulla periodicità.
anche $z_(k=2)$ ovviamente coincide, ma le altre due no: limitandoci al primo giro, attraverso il calcolo di parte reale e parte immaginaria, troviamo i classici archi associati ( $pi/12$, $pi-pi/12=11pi/12$, $pi+pi/12=13pi/12$, $2pi-pi/12=23pi/12$ ), mentre utilizzando de Moivre si hanno i valori scritti da de rosa che differiscono di multipli di $pi/2$. come vi spiegate questa incongruenza? grazie anticipatamente. ciao.
con $a$ e $b$ trovati da me con i segni entrambi positivi, la soluzione è la stessa $z_(k=0)$ di nicola de rosa. il problema sorge sulla periodicità.
anche $z_(k=2)$ ovviamente coincide, ma le altre due no: limitandoci al primo giro, attraverso il calcolo di parte reale e parte immaginaria, troviamo i classici archi associati ( $pi/12$, $pi-pi/12=11pi/12$, $pi+pi/12=13pi/12$, $2pi-pi/12=23pi/12$ ), mentre utilizzando de Moivre si hanno i valori scritti da de rosa che differiscono di multipli di $pi/2$. come vi spiegate questa incongruenza? grazie anticipatamente. ciao.
"adaBTTLS":
come promesso, ho ricontrollato i calcoli e verificato la coincidenza della soluzione base con i due metodi:
con $a$ e $b$ trovati da me con i segni entrambi positivi, la soluzione è la stessa $z_(k=0)$ di nicola de rosa. il problema sorge sulla periodicità.
anche $z_(k=2)$ ovviamente coincide, ma le altre due no: limitandoci al primo giro, attraverso il calcolo di parte reale e parte immaginaria, troviamo i classici archi associati ( $pi/12$, $pi-pi/12=11pi/12$, $pi+pi/12=13pi/12$, $2pi-pi/12=23pi/12$ ), mentre utilizzando de Moivre si hanno i valori scritti da de rosa che differiscono di multipli di $pi/2$. come vi spiegate questa incongruenza? grazie anticipatamente. ciao.
La periodicità di un esponenziale complesso è $i*2kpi$ infatti $e^(i*(phi+2kpi))=cos(phi+2kpi)+i*sin(phi+2kpi) =cos(phi)+i*sin(phi)=e^(i*phi)$
ti ringrazio, ma il mio dubbio non è questo.
dicevo semplicemente che, anche se il metodo algebrico è in questo caso molto più laborioso, non dovrebbe essere errato. se io trovo $Re(z)=+-2^(1/4)*cos(pi/12)$ e $Im(z)=+-2^(1/4)*sen(pi/12)$, attraverso il metodo algebrico, ottengo, insieme con la prima soluzione $z_0 = 2^(1/4)*e^(i*pi/12)$, le altre che hanno parte reale uguale oppure opposta e, contemporaneamente, parte immaginaria uguale oppure opposta.
cioè, trovando prima $z^4$, si ottengono le soluzioni trovate da te; cercando di trovare direttamente $z$ con il metodo algebrico si trovano soluzioni che coincidono solo nel caso di parte reale ed immaginaria di segno concorde. dove può essere l'errore? grazie ancora. ciao.
dicevo semplicemente che, anche se il metodo algebrico è in questo caso molto più laborioso, non dovrebbe essere errato. se io trovo $Re(z)=+-2^(1/4)*cos(pi/12)$ e $Im(z)=+-2^(1/4)*sen(pi/12)$, attraverso il metodo algebrico, ottengo, insieme con la prima soluzione $z_0 = 2^(1/4)*e^(i*pi/12)$, le altre che hanno parte reale uguale oppure opposta e, contemporaneamente, parte immaginaria uguale oppure opposta.
cioè, trovando prima $z^4$, si ottengono le soluzioni trovate da te; cercando di trovare direttamente $z$ con il metodo algebrico si trovano soluzioni che coincidono solo nel caso di parte reale ed immaginaria di segno concorde. dove può essere l'errore? grazie ancora. ciao.
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