Equazione con numeri complessi
Salve, sui numeri complessi ho dei dubbi riguardo alle equazioni quando vi sono moduli.
So che $|z|=sqrt(a^2+b^2)$ e facendo così non ho problemi, ma vedo soluzioni che mi sembrano svolte in maniera diversa.
Ad esempio ho
$z^2-|z|=0$
La soluzione fa, primo ovvio passo
$z^2-|z|=0 => z^2=|z|$
ma poi non trovo il senso, mi sembra che svolga il modulo come fosse invece un valore assoluto.. ma non mi sembra che abbia questo significato nei complessi, e se si, in base a cosa? Non lo trovo riportato da nessuna parte.
Quello che fa è:
$z^2-|z|=0 => z^2=|z| => |z|^2=|z|$
$|z| =0 => z=0$
$|z|=1=>z=+-1$
So che $|z|=sqrt(a^2+b^2)$ e facendo così non ho problemi, ma vedo soluzioni che mi sembrano svolte in maniera diversa.
Ad esempio ho
$z^2-|z|=0$
La soluzione fa, primo ovvio passo
$z^2-|z|=0 => z^2=|z|$
ma poi non trovo il senso, mi sembra che svolga il modulo come fosse invece un valore assoluto.. ma non mi sembra che abbia questo significato nei complessi, e se si, in base a cosa? Non lo trovo riportato da nessuna parte.
Quello che fa è:
$z^2-|z|=0 => z^2=|z| => |z|^2=|z|$
$|z| =0 => z=0$
$|z|=1=>z=+-1$
Risposte
Il fatto è che se un numero complesso è uguale a un modulo allora quel numero complesso non ha la parte immaginaria dato che il modulo è un numero reale.
Come ha già detto axpgn se un numero complesso è uguale a un modulo vuol dire che è un numero reale, cioè che $z=a+ib, b=0$. Quindi la tua equazione diventa $a^2=|a|$ che credo tu sappia risolvere
Tuttavia è $z^2$ che non ha parte immaginaria, non $z$ di cui non so se esso la abbia o no e quindi non so perchè scrivere $a^2=|a|$ sia corretto.
Svolgendo le cose passo per passo per capire meglio come ciò avviene, faccio.
$z^2 = |z|$
$(a+ib)^2=|z|$
$a^2-b^2+2aib = |z|$
Ora so che essendo $|z| in \R $ anche $a^2-b^2+2aib$ dovrà esserlo.
Ma son incerto riguardo al modo in cui ciò va interpretato.
Per soddisfare questa condizione devo avere che i termini moltiplicati per $i$ fanno zero (quindi $a$ o $b$), oppure che $b^2=0=>b=0$ essendo che nell'espressione generale $b$ è il termine immaginario? Questa visione "generale" o da un punto di vista dell'equazione non mi è mai stata chiara.
Svolgendo le cose passo per passo per capire meglio come ciò avviene, faccio.
$z^2 = |z|$
$(a+ib)^2=|z|$
$a^2-b^2+2aib = |z|$
Ora so che essendo $|z| in \R $ anche $a^2-b^2+2aib$ dovrà esserlo.
Ma son incerto riguardo al modo in cui ciò va interpretato.
Per soddisfare questa condizione devo avere che i termini moltiplicati per $i$ fanno zero (quindi $a$ o $b$), oppure che $b^2=0=>b=0$ essendo che nell'espressione generale $b$ è il termine immaginario? Questa visione "generale" o da un punto di vista dell'equazione non mi è mai stata chiara.
"Jaeger90":
Tuttavia è $z^2$ che non ha parte immaginaria, non $z$ di cui non so se esso la abbia o no e quindi non so perchè scrivere $a^2=|a|$ sia corretto.
Questo te lo dice il problema
"Jaeger90":
La soluzione fa, primo ovvio passo
$ z^2-|z|=0 => z^2=|z| $
Da qui si deduce che $z^2$ è reale con la parte immaginaria nulla quindi $2iab$ è nullo.
Tu ti chiedi quale tra $a$ e $b$ è nullo; giusto, bella domanda, nota però che se fosse $a=0$ allora il tuo $z^2$ si ridurrebbe a $-b^2$ ovvero un numero negativo: ma il modulo di un complesso non può essere negativo
e il resto viene di conseguenza
"axpgn":
nota però che se fosse $a=0$ allora il tuo $z^2$ si ridurrebbe a $-b^2$ ovvero un numero negativo: ma il modulo di un complesso non può essere negativo
$a=0 => -b^2=|z| =>_(|z|>=0) b=0 => |z|=0$
Quindi se $a=0$ si può avere $b=0$ e $|z|=0$ e quindi anche $z = a+ib = 0$, mi sembra una soluzione plausibile
Ma è un caso particolare che non inficia affatto quanto detto ed infatti quel caso è ricompreso nella soluzione proposta.
Detto in altro modo $b$ è sempre nullo, ok?
Detto in altro modo $b$ è sempre nullo, ok?
Perfetto, fatto tutti i calcoli per togliermi ogni dubbio e la soluzione $a = 0$ compare sempre, poi ho $a=+-1$ ed è risolto.
Tuttavia per come lo risolve in maniera diretta il testo sembra che usi un metodo o considerazioni diverse dato che dice $|z|=1$ ed io non ho considerato questo nei passaggi.
Tuttavia per come lo risolve in maniera diretta il testo sembra che usi un metodo o considerazioni diverse dato che dice $|z|=1$ ed io non ho considerato questo nei passaggi.
Semplicemente fa la considerazione che solo i numeri $0$ e $1$ sono uguali al loro quadrato
"axpgn":
Semplicemente fa la considerazione che solo i numeri $0$ e $1$ sono uguali al loro quadrato
Quindi considera il modulo come valore assoluto. Ma per fare ciò si dovrebbe avere la parte immaginaria di $z$ uguale a 0, e senza fare calcoli si sa solo che $z^2$ non ha parte immaginaria, non $z$
Ma l'abbiamo dimostrato prima che in QUESTO problema è così.
L'autore non fa considerazioni generali ma ragionando su quello che ha e sulle proprietà e definizioni dei complessi arriva a queste conclusioni.
A te non pare che tutti i passaggi che son stati fatti siano stati giustificati? A me sì, mi pare proprio di averlo fatto …
L'autore non fa considerazioni generali ma ragionando su quello che ha e sulle proprietà e definizioni dei complessi arriva a queste conclusioni.
A te non pare che tutti i passaggi che son stati fatti siano stati giustificati? A me sì, mi pare proprio di averlo fatto …
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo