Equazione con numeri complessi

[Raffa851]

l'esercizio impone che si risolava attraverso la forma trigonometrica $ iz^4 + 1/(bar(z))=0 $
so che $ z=a+ib $ mentre $ bar(z)=a-ib $
se qualcuno sa risolverlo lo prego di spiegarmi passo a passo come risolverlo perche io non sapendo a e b non so come ricavare il raggio e i valori di seno e coseno per la forma trigonometrica
grazie in anticipo

[pilloeffe]

Ciao Raffa85,

Comincerei con l'osservare che $z = - i $ è una soluzione dell'equazione proposta, mentre certamente $z = 0 $ non è una soluzione, per cui moltiplicherei numeratore e denominatore della frazione per $z $ e, dato che $z\bar{z} = |z|^2 $, si ha:

$iz^4 + z/|z|^2 = 0 \implies iz^3 = - 1/|z|^2 \implies z^3 = i/|z|^2 \implies \rho^5 e^{i3\theta} = e^{i\pi/2} $

Quindi $\rho^5 = 1 \implies \rho = 1 $ e $ 3\theta = \pi/2 + 2k\pi \implies \theta = \pi/6 + 2k\pi/3 $, $ \quad k = 0, 1, 2 $ (poi si ripetono). In definitiva si ha:

$z_0 = e^{i\pi/6} = cos(\pi/6) + i sin(\pi/6) = sqrt{3}/2 + i 1/2 = \frac{sqrt{3} + i}{2} $
$z_1 = e^{i(5\pi)/6} = cos((5\pi)/6) + i sin((5\pi)/6) = - sqrt{3}/2 + i 1/2 = \frac{- sqrt{3} + i}{2} $
$z_2 = e^{i(3\pi)/2} = cos((3\pi)/2) + i sin((3\pi)/2) = - i $

[Raffa851]

Grazie purtroppo ho ancora due dubbi...
1) che operazione hai fatto per passare da $ iz^3= (-1)/(|z|^2) $ a $ z^3=i/(|z|^2) $
2) da cosa ricavi che $ z^3=rho ^5e^(i3vartheta ) $

[ValeForce]

Ciao!

1) $ iz^3= (-1)/(|z|^2) rArr z^3=-1/(|z|^2i) rArr$ "moltiplicando e dividendo per $i$" $rArr z^3=-i/(|z|^2i^2)=i/(|z|^2)$

2)NON è $ z^3=rho ^5e^(i3vartheta ) $, bensì $ z^3|z|^2=rho ^5e^(i3vartheta ) $ e quest'ultimo deve essere uguale a $i (=e^(ipi/2))$ per risolvere l'equazione.

Spero di esserti stato d'aiuto