Equazione con numeri complessi

[Jonkaero]

Buona sera, avrei qui una equazione complessa che non riesco a risolvere
$|z+i|^2(z+i)+\bar ((z+i)^2) = 3+5i $
In un primo momento ho pensato di sostituire $ z+1=w ,$ quindi $|w^2|w +\bar (w^2) = 3+5i $
dopodichè l'ho riscritta in forma $ w = x+iy $ arrivando a $ (x^2+y^2)(x+iy) + x^2-y^2-2ixy = 3+5i $ arrivando al sistema
$\{(x^3+xy^2+x^2-y^2 = 3),(x^2y+y^3-2xy = 5):}$
Dopo svariati tentativi a risolvere questo sistema ho realizzato che forse ho sbagliato strada, allora sono ripartito dall'inizio questa volta riscrivendo $ w =\rho e^(i\theta) $ e $3+5i = sqrt(34)e^(iarctan(5/3))$ (giusto?) riscrivendo il tutto
$ rho^3e^(itheta)+rhoe^(-i2theta) = sqrt(34)e^(iarctan(5/3)) $.
A questo punto non so che fare, con esponenziali del genere di solito sostituivo con una lettera e la risolvevo come un'equazione, però non riesco a raccogliere $e^(itheta)$.
Ho provato a moltiplicare il tutto per $ e^(i2theta)$ cosicchè
$ rho^3e^(i3theta)+rho = sqrt(34)e^(iarctan(5/3))*e^(i2theta) $, tuttavia adesso non so come proseguire con quel $rho$ di mezzo.

[Studente Anonimo]

Per quanto mi riguarda, al netto di un qualche gioco di prestigio, la vedo piuttosto dura. Sei più che sicuro del testo?