Equazione con numeri complessi

[alemar05]

Buon pomeriggio, mi servirebbe una mano con questa equazione. Chi sarebbe così gentile da aiutarmi?
$ z^2-|z^2|-2z^**=0 $
Una soluzione certa è $ z=0 $, si potrebbe mettere in comune z* in questo modo $ z^2-z^**(z+2)=0 $
Poi non so come procedere

[spugna2]

Ponendo $z=x+iy$ e guardando la parte immaginaria (nell'equazione originale) si ha $2xy+2y=0$: se $y=0$ segue facilmente $z=0$, altrimenti $x=-1$, da cui $z+z^**=-2$, e quindi $z^2-z^**(z+2)=z^2+(z+2)^2=0$, che porta a $z=-1+-i$.

[alemar05]

Non capisco come si ricava $ x=-1 $ , potresti fare tutti i passaggi per favore?

[pilloeffe]

Ciao alemar05,

Lo stile di spugna è un po' criptico (ma a me piace... ) se vuoi, ma è senz'altro corretto.

$2xy + 2y = 0 \implies 2y(x + 1) = 0 $

Per la legge di annullamento del prodotto quest'ultima equazione ha le due soluzioni $y = 0 $ e $x = - 1$. Per $y = 0 $ (parte immaginaria nulla) l'equazione originaria proposta diventa $- 2x = 0 \implies x = 0 $, da cui la prima soluzione $z = 0 $. Per $x = - 1 $, ricordando che $x = frac{z + z^**}{2} \implies z + z^** = - 2 \implies z^** = - z - 2$; sostituendo tale valore di $z^**$ nell'equazione $z^2-z^**(z+2) = 0 $ che tu stesso hai trovato, si ottiene proprio l'equazione $z^2 + (z+2)^2 = 0 $ che, ricordando che $x =- 1$, si può scrivere nel modo seguente:

$(- 1 + iy)^2 + (- 1 + iy + 2)^2 = 0 $
$1 - 2iy - y^2 + (1 + iy)^2 = 0 $
$1 - 2iy - y^2 + 1 + 2iy - y^2 = 0 $
$ 2 - 2y^2 = 0 $
$y^2 = 1 \implies y_{1, 2} = pm 1 \implies z_1 = - 1 + i, z_2 = - 1 - i $