Equazione con numeri complessi

[alemar05]

Buon giorno a tutti, avrei bisogno del vostro aiuto per la risoluzione della seguente equazione:
$ z*abs(z^2)=-9i*z^** $
Io ho provato a sotituire $ z=x+iy $ e svolgendo tutte le operazioni ottengo $ x^3-xy^3+x^2iy-iy^3+9ix-9y=0 $ ed infine $ x=0 $ e $ y=0 $

[gio73]

Ciao
secondo me 0 non è l'unica soluzione
prova a sostituire ad esempio
$z_1= 3/(sqrt2)-3/(sqrt2) i$

[Ziben]

Ciao,
immagino che $z^\ast$ sia $z$ coniugato. Conviene trasformare tutto in forma esponenziale:

$z=|z|e^(i\theta)$
$z^\ast=|z|e^(-i\theta)$
$-i=e^(i3/2pi)$

Notando che $|z^2|=|z|^2$ si ottiene:

$|z|^3e^(i\theta)=9|z|e^(-i\theta)e^(i3/2pi)$ da cui si nota subito che $z=0$ è una soluzione. Posto allora $z\ne0$ dividendo per $|z|e^(-i\theta)$ si ha;

$|z|^2e^(i2\theta)=9e^(i3/2pi)$ cioè $z^2=9e^(i3/2pi)$ e non resta che calcolare le radici quadrate di $9e^(i3/2pi)$

[pilloeffe]

Ciao alemar05,

Farei diversamente. Dato che Ziben e tu stesso avete notato che $z = 0$ è una soluzione, per trovare le altre $2$ basta moltiplicare tutto per $z$ e ricordarsi che $z z^{\ast} = |z|^2$ (oltre a quello che ti ha già scritto Ziben, $|z^2|=|z|^2$). Si ottiene un'equazione che ha $|z|^2$ in ambedue i membri che pertanto si può semplificare (posto $z \ne 0$). Alla fine rimane l'equazione seguente:

$z^2 = - 9i \implies z_{1, 2} = \pm sqrt{-9i} = \pm sqrt{frac{9 - 18i + 9i^2}{2}} = pm sqrt{frac{(3 - 3i)^2}{(sqrt{2})^2}} $

Dalla quale si ottengono le altre due soluzioni, una della quali è quella che ti ha già scritto gio73, cioè

$z_1 = frac{3 - 3i}{sqrt{2}}$

L'altra è la seguente:

$z_2 = - frac{3 - 3i}{sqrt{2}}$

[alemar05]

Non riesco a capire come si ricava $ sqrt(2) $ al denominatore. Purtroppo non sono molto pratico con le equazioni complesse

[axpgn]

Sicuri che $|z^2|=|z|^2$ ?

$z=2-3i$

$z^2=(2-3i)(2-3i)=4+9-12i=13-12i$

$|z^2|=169+144=313$


$|z|=4+9=13$

$|z|^2=13^2=169$

[pilloeffe]

Ciao axpgn,

Direi di sì:

$z = x + iy \implies |z| = sqrt{x^2 + y^2} \implies |z|^2 = x^2 + y^2$.

$z^2 = x^2 - y^2 +2ixy \implies |z^2| = sqrt{(x^2 -y^2)^2 +(2xy)^2} = sqrt{(x^2 + y^2)^2} = x^2 + y^2 $

Adesso che leggo meglio il tuo post, noto che c'è un errore nella tua $z^2$: è $(3i) \cdot (3i) = - 9 $, non $9$, per cui i conti tornano...