Equazione con numeri complessi

[Bea.115]

Ciao a tutti non riesco a capire come poter svolgere questo esercizio

Risolvere l'equazione seguente nell'incognita [tex]z \in \mathbb{C}[/tex]:

[tex]z\left |z \right | -2z + i=0[/tex]

[soluzioni: [tex]z=i[/tex], [tex]z=-1(1+\sqrt{2})[/tex]]

Ho pensato di suddividere l'equazione in due casi, uno per [tex]z>0[/tex] e uno per [tex]z<0[/tex]

[tex]\left\{\begin{matrix}
z^{2}-2z+i=0 & z>0\\
-z^{2}-2z+i=0 & z<0
\end{matrix}\right.[/tex]

Quindi dalla prima si ottiene

[tex]z_{1, 2}=1+\sqrt{1-i}[/tex]

Poiché [tex]1-i=\sqrt{2}(cos(-\frac{\pi}{4})+isin(-\frac{\pi}{4}))[/tex] sotto radice l'angolo diventa [tex]\frac{\pi}{8}[/tex], dato che non è un angolo noto ho provato con le formule di bisezione

[tex]cos\frac{\pi}{8}=\sqrt{\frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}}=\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}}}[/tex]

Però non ci faccio molto... Qualcuno sa dirmi un altro modo?

Grazie

[relue.KdMP]

Mi sembra più facile se la risolvi utilizzando la rappresentazione polare dei numeri complessi

$z=rho*[cos(delta)+i*sin(delta)]$
$abs(z)=rho$

[Palliit]

@Bea.: i numeri complessi non sono soggetti ad ordine, per cui richieste come : $z>0$ ed analoghe sono prive di senso.

[Bea.115]

Mi è venuto in mente di fare così perché per risolvere un altro esercizio sui complessi
(questo, per intenderci
[tex]\left\{\begin{matrix}u=\left | z \right |+\left | u \right |\\ z=\left | u \right |-1\end{matrix}\right.[/tex]
la professoressa aveva diviso i valori assoluti considerando i casi u positivo/negativo e z positivo/negativo

Ho provato a riscriverli:

[tex]\left | z \right |^{2}(cos\alpha+isen\alpha)-2\left | z \right |(cos\alpha+isen\alpha)+i=0[/tex]

Poi ho provato a risolverla come un'equazione di secondo grado

[size=140][tex]\left | z \right |=\frac{(cos\alpha +isen\alpha )\pm\sqrt{(cos\alpha +isen\alpha )^{2}-(cos\alpha +isen\alpha )i}}{(cos\alpha +isen\alpha )}[/tex]

[tex]\left | z \right |=\frac{(cos\alpha +isen\alpha )\pm\sqrt{cos^{2}\alpha -sen^{2}\alpha +2isen\alpha-icos\alpha +sen\alpha }}{(cos\alpha +isen\alpha )}[/tex]

[tex]\left | z \right |=\frac{(cos\alpha +isen\alpha )\pm\sqrt{cos(2\alpha )+isen(2\alpha )-icos\alpha +sen\alpha }}{(cos\alpha +isen\alpha )}[/tex][/size]

però mi sono bloccata di nuovo

Grazie ancora!

[Gi81]

[tex]z\left |z \right | -2z + i=0[/tex]
$z(|z|-2)= -i$
Dato che $|z|-2 in RR$ , si ha che $z$ è un numero immaginario puro:

Cerchiamo pertanto soluzioni del tipo $z= ia$, $a in RR$.
$ia(|a|-2)= -i=> a(|a|-2)= -1$

Se $a>=0$ si ha $a^2-2a+1=0$, da cui $a=1$.
Se $a<0$ si ha $a(-a-2)=-1 => a(a+2)=1=> a^2+2a-1=0$
$a= -1+-sqrt(2)=> a= -1-sqrt2$

Quindi ci sono due soluzioni: $z=i$ e $z= -i(1+sqrt2)$

[Zero87]

"Bea.":Risolvere l'equazione seguente nell'incognita [tex]z \in \mathbb{C}[/tex]:
[...]
Ho pensato di suddividere l'equazione in due casi, uno per [tex]z>0[/tex] e uno per [tex]z<0[/tex]

Non lo vedo in altri interventi e mi sembrava doveroso puntualizzare che nei complessi una scrittura del genere non ha senso (lo scrivere $z>0$ e $z<0$ intendo con $z\in \CC$).

EDIT
M'era sfuggito il post di Palliit, scusa, ormai ho ricevuto una risposta dopo questo post e non posso più cancellarlo.
Buona domenica.

[Bea.115]

Ora ho capito, grazie a tutti per l'aiuto!