Equazione con numeri complessi

[Mandiatutti]

Ciao a tutti, io arrivo fino ad un certo punto nella risoluzione, poi non so come procedere...
Sotto illustro anche i procedimenti che ho fatto...

\( z=18\bar{z} \)
\( z=x+iy \)
\( \bar{z} =x-iy \)
\( x^2-y^2+2xyi-18x+18yi=0 \)
Corrisponde ai due sistemi:
\( \begin{cases} x^2-y^2-18x=0 \\ 2xyi+18yi=0 \end{cases} \)
Dalla seconda:
\( xyi+9yi=0 \) ;
\( y=0,
x=-9 \)
Allora:
\( \begin{cases} y=0 \\ x^2-18x=0 \end{cases} \cup \begin{cases} x=-9 \\ 81-y^2-162=0 \end{cases} \)
E risolvendoli trovo dal primo:
\( x=0,
x=18 \)
e dal secondo:
\( y=\pm \sqrt{-81} \) .
Poi non saprei come proseguire...

[Quinzio]

L'equazione originale del problema deve essere $z^2 = 18\bar z$, giusto ?
Se ci si ferma a guardare l'equazione si potrebbe notare subito che banalmente $z=0$ è una soluzione.
Poi, forse è meglio passare alla notazione esponenziale, cioè:
$\rho^2 e^(2i\theta) = 18 \rho e^(-i\theta)$
Abbiamo già considerato il caso $z=0$, ovvero $\rho=0$, quindi l'equazione diventa
$\rho e^(3i\theta) = 18 $

Allora abbiamo come soluzioni $\rho = 18$ e $\theta= 2/3 k \pi, k=0,1,2$.
Alla luce di questo risultato potresti cercare di ritrovare le stesse soluzioni come avevi iniziato tu, in forma cartesiana.