Equazione con numeri complessi

[N56VZ]

Ciao ragazzi dovrei trovare le soluzioni complesse e distinte di questa equazione:
$z^4-2iz^3-2z^2+2iz+1=0$
Vedo che una soluzione valida è 1, anche $i$ mi verifica l'equazione, ho provato con $-i$ ma non risolve l'equazione...
qual'è il metodo migliore per risolverlo?

[Zero87]

"N56VZ":Ciao ragazzi dovrei trovare le soluzioni complesse e distinte di questa equazione:
$z^4-2iz^3-2z^2+2iz+1=0$

Innanzitutto la riscrivo come
$i^4z^4+2i^3 z^3+2i^2z^2+2iz+1=0$

se quella $i$ ci dà fastidio, posso porre $iz=y$ - non è obbligatorio - e ottenere
$y^4+2y^3+2y^2+2y+1=0$

questo tipo di equazioni si fa - dipende dai prof - alle superiori, ha un nome che ora non mi viene, ma il trucco è sempre quello:

1.
$y=0$ non è soluzione (questo solo per un fatto di coscienza per il punto 2)

2.
Divido tutto per $y^2$ - $y^2 \ne 0$ per il punto 1.! - ottenendo
$y^2+2y+2+2/y+1/(y^2)=0$

3.
Riordino nel modo seguente
$y^2+1/y^2+2y+2/y+2=0$
cioè
$(y^2+1/y^2)+2(y+1/y)+2=0$

4.
Pongo
$y+1/y=t$
da cui
$y^2+1/y^2=t^2-2$
(se non ne siete convinti osservate che $(y+1/y)^2= y^2+1/(y^2)+2$ ed ecco spiegato l'arcano).

5.
Risolvo
$t^2-2+2t+2=0$
cioè
$t^2+2t=0$

6. (in poi)
Trovate le soluzioni in $t$, mi riporto a quelle in $y$ per poi ricordarmi $y=iz$ cioè $z= -iy$ per ottenere tutte quelle in $z$.

Nota
Alle superiori si "dovrebbe" trattare questo tipo di equazioni
$x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0$
perché capitano spesso negli esercizi, ma in realtà non lo fa quasi nessuno ed è un peccato perché c'è questo modo smanettoso di risolverle che è molto carino.

[N56VZ]

Ti ringrazio, chiarissimo e geniale nella risoluzione, personalmente non ci sarei mai arrivato
Mille grazie

[Zero87]

"N56VZ":Ti ringrazio, chiarissimo e geniale nella risoluzione, personalmente non ci sarei mai arrivato

Il punto è che se non si fanno alle superiori - questa l'ho fatta da autodidatta proprio perché "non prevista" - non ci si arriva a determinate sostituzioni come questa. Per quanto possano sembrare "elementari" sono comunque "innaturali", cioè non immediate ed è proprio questa la difficoltà.

E' un peccato che spesso non si fanno...!