Equazione Con Numeri Complessi
Ho da risolvere un' equazione, non so quanto possa essere agevole leggerla senza le formule matematiche (a quanto pare il forum è in aggiornamento)
z° = z coniugato
l'equazione è:
|z|^2 * z^2 =i
ora come mi muovo? mi conviene sostituire z con x+iy (ho provato ma non ci son riuscito) oppure mi conviene scrivere |z|^2 come z*z°
z° = z coniugato
l'equazione è:
|z|^2 * z^2 =i
ora come mi muovo? mi conviene sostituire z con x+iy (ho provato ma non ci son riuscito) oppure mi conviene scrivere |z|^2 come z*z°
Risposte
Riscrivo tutto in maniera leggibile:
$1)$ ho da svolgere l'equazione:
$|z|^2*z^2 =i$
mi conviene sostituire $z=(x+iy)$ oppure considerere la relazione $|z|^2=zbarz$ ?
$2)$ Ho anche qualche problema con l'equazione:
$z^4-5z^3+10z^2-10z+4=0$
mi viene detto che una radice è $z=1+i$
ne mancano dunque tre, una è l'1 e lo vedo ad occhio, e con questo ho provato a dividere con ruffini, ottenendo pochi risultati.
Il libro mi dice "essendo l'equazione a coefficienti reali, allora anche z=1-i è soluzione". Vorrei una mano sia a svolgere l'equazione magari con qualche consiglio su cosa fare, e vorrei anche che qualcuno mi aiutasse a capire l'afermazione del libro che ho citato.
$1)$ ho da svolgere l'equazione:
$|z|^2*z^2 =i$
mi conviene sostituire $z=(x+iy)$ oppure considerere la relazione $|z|^2=zbarz$ ?
$2)$ Ho anche qualche problema con l'equazione:
$z^4-5z^3+10z^2-10z+4=0$
mi viene detto che una radice è $z=1+i$
ne mancano dunque tre, una è l'1 e lo vedo ad occhio, e con questo ho provato a dividere con ruffini, ottenendo pochi risultati.
Il libro mi dice "essendo l'equazione a coefficienti reali, allora anche z=1-i è soluzione". Vorrei una mano sia a svolgere l'equazione magari con qualche consiglio su cosa fare, e vorrei anche che qualcuno mi aiutasse a capire l'afermazione del libro che ho citato.
Per la prima equazione ti conviene risolverla usando la rappresentazione polare dei numeri complessi: $z=|z|e^{i\theta}$, così risulta: $|z|^4 e^{2i\theta}=e^{i\pi/2}$, per cui uguagliando modulo e angolo ottieni le soluzioni (considerando la periodicità dell'esponenziale complesso $e^{i\theta}$).
Per la seconda equazione essendo i coefficienti reali hai che le soluzioni complesse sono a coppie con la coniugata. Per le soluzioni che mancano prova a operare la divisione tra polinomi no? Sai già la scomposizione conoscendo 3 soluzioni su 4. In più sai che quella che manca è reale.
Per la seconda equazione essendo i coefficienti reali hai che le soluzioni complesse sono a coppie con la coniugata. Per le soluzioni che mancano prova a operare la divisione tra polinomi no? Sai già la scomposizione conoscendo 3 soluzioni su 4. In più sai che quella che manca è reale.
non capisco però perchè un'equazione a coefficienti reali abbia le soluzioni conugate. Non capisco dove utilizzare la divisione tra polinomi.
Grazie per il primo consiglio
Grazie per il primo consiglio
"Flamber":
non capisco però perchè un'equazione a coefficienti reali abbia le soluzioni conugate.
Proviamo a fare un esempio
$x^2+x+1=0$
è un'equazione di II grado a coefficienti reali, cerchiamo le sue soluzioni
$x_(1,2)=(-1+-sqrt(1-4))/2=(-1+-sqrt(-3))/2=-1/2+-sqrt(-3)/2$
ci accorgiamo subito che sotto radice abbiamo un numero negativo e quindi dobbiamo ricorrere ai numeri immaginari
ecco che le due soluzioni sono
$x_1=-1/2-3/2i$
$x_2=-1/2+3/2i$
la parte reale è la stessa mentre per quanto riguarda la parte immaginaria abbiamo in una soluzione il segno - e nell'altra il +.
Non riesco davvero a capire perchè se nel caso di:
$z^4-5z^3+10z^2-10z+4=0$
se so che una soluzione è $z_0=1+i$
se so che ci sono 4 soluzioni
$z_0=sqrt(2)(cos(π/4)+isin(π/4))=sqrt(2)e^(iπ/4)=i+1$
$z_1=sqrt(2)e^(iπ/2)=sqrt(2)i$
ecc.
per quale motivo invece mi si dice che le soluzioni sono $1$, $2$, $1+i$, $1-i$
$z^4-5z^3+10z^2-10z+4=0$
se so che una soluzione è $z_0=1+i$
se so che ci sono 4 soluzioni
$z_0=sqrt(2)(cos(π/4)+isin(π/4))=sqrt(2)e^(iπ/4)=i+1$
$z_1=sqrt(2)e^(iπ/2)=sqrt(2)i$
ecc.
per quale motivo invece mi si dice che le soluzioni sono $1$, $2$, $1+i$, $1-i$
non capisco perchè in alcuni casi le soluzioni si dispongono ai vertici di poligoni regolari, ed in alcuni casi no.
Certamente ci sarà un motivo fondamentale del calcolo con i numeri complessi.
Ho risolto l'equazione con ruffini
Certamente ci sarà un motivo fondamentale del calcolo con i numeri complessi.
Ho risolto l'equazione con ruffini
Il semplice motivo per cui se un'equazione ha una soluzione complessa allora anche il suo coniugato è soluzione è che se considero il coniugato del polionomio i coefficienti reali non cambiano, per cui:
$a\bar{x}^n+...+a_1\bar{x}+a_0=0$
ovvero $\bar{x}$ è soluzione. Per quanto riguarda la divisione di polinomi sia che se un polinomio ha soluzione $x=x_1$ si fattorizza $p(x)=(x-x_1)q(x)$, con $deg(q(x))=deg(p(x))-1$. A questo punto è semplice trovare $q(x)$. A questo punto se tu conosci più di una soluzione ottieni: $p(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)h(x)$, con $h(x)$ di grado opportuno.
$a\bar{x}^n+...+a_1\bar{x}+a_0=0$
ovvero $\bar{x}$ è soluzione. Per quanto riguarda la divisione di polinomi sia che se un polinomio ha soluzione $x=x_1$ si fattorizza $p(x)=(x-x_1)q(x)$, con $deg(q(x))=deg(p(x))-1$. A questo punto è semplice trovare $q(x)$. A questo punto se tu conosci più di una soluzione ottieni: $p(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)h(x)$, con $h(x)$ di grado opportuno.
Ovviamente questo vale solo se l'equazione p è acoefficienti reali vero?
Mi rimane comunque l'altro dubbio. Non capisco perchè essendo un'equazione di quarto grado, le soluzioni non si dispongano su una circonferenza con centro l'origine, formando un poligono regolare.
Mi rimane comunque l'altro dubbio. Non capisco perchè essendo un'equazione di quarto grado, le soluzioni non si dispongano su una circonferenza con centro l'origine, formando un poligono regolare.
Quello che dici succede nel caso tu consideri la radice $n$-esima di un reale. Allora le soluzioni si dispongono su una circonferenza e rappresentano i vertici di un poligono regolare di $n$ lati.
Penso di avere un po' troppa confusione, mi conviene ristudiare come si deve la teoria.
Perchè mi sorgono dubbi ad ogni esercizio. Ad esempio per l'equazione:
$|z|^2+Im(barz)=(Im(z))^2$
non dovrebbero esserci due soluzioni?
ma poi andandola a svolgere mi viene:
$x^2+y^2-y=y^2$ che è una parabola, ma non ho idea di cosa questo significhi, e soprattutto non ho idea del perchè non mi siano venute due soluzioni, dato che quella è un'equazione di secondo grado.
Perchè mi sorgono dubbi ad ogni esercizio. Ad esempio per l'equazione:
$|z|^2+Im(barz)=(Im(z))^2$
non dovrebbero esserci due soluzioni?
ma poi andandola a svolgere mi viene:
$x^2+y^2-y=y^2$ che è una parabola, ma non ho idea di cosa questo significhi, e soprattutto non ho idea del perchè non mi siano venute due soluzioni, dato che quella è un'equazione di secondo grado.
Questa è una equazione reale. Geometricamente sul piano le soluzioni rappresentano una parabola. Cos'altro non ti torna?
Non mi torna il fatto che per il teorema fondamentale dell'algebra ci dovrebbero essere due soluzioni (o sbaglio).
Qui ce n'è solo 1 mi pare...
Qui ce n'è solo 1 mi pare...
Sbagli: il Teorema fondamentale dell'algebra afferma che una equazione di grado $n$ nella variabile $z$ (e solo $z$: niente coniugati, parti reali, immaginarie, moduli o ciambelle alla panna!) ammette esattamente $n$ radici in $CC$.
In generale una equazione complessa può ammettere anche infinite soluzioni, sia in forma discreta (infiniti punti "sparsi" nel piano) sia in forma continua (una intera curva, come in questo caso). Ad esempio: $|z|=1$ rappresenta la circonferenza di centro l'origine e raggio $1$.
In generale una equazione complessa può ammettere anche infinite soluzioni, sia in forma discreta (infiniti punti "sparsi" nel piano) sia in forma continua (una intera curva, come in questo caso). Ad esempio: $|z|=1$ rappresenta la circonferenza di centro l'origine e raggio $1$.
ma in questo caso mi pare che non abbia più senzo parlare di "soluzioni" almeno nell'uso che ne faccio io, quanto mi sembra più opportuno parlare di altro modo" di scrivere una legge.
Grazie per il chiarimento!!!
Grazie per il chiarimento!!!
ma in questo caso mi pare che non abbia più senso parlare di "soluzioni" almeno nell'uso che ne faccio io, quanto mi sembra più opportuno parlare di altro modo" di scrivere una legge.
Grazie per il chiarimento!!!
Grazie per il chiarimento!!!
No? Scusa una cosa, hai studiato la geometria analitica? Prendi l'equazione di una retta: i punti della retta sono le "soluzioni" dell'equazione. Il concetto di "soluzione" di un'equazione è quello: chi ti ha detto che devono essere finite?
ok i punti di una retta sono soluzioni dell'equazione che la descrive.
Ma qui stiamo considerando come soluzione un'equazione.
$y=x$ è una funzione $(2,2), (300,300)$ sono due soluzioni per l'equazione.
Ma prima abbiamo considerato soluzione $y=x^2$.
Ma qui stiamo considerando come soluzione un'equazione.
$y=x$ è una funzione $(2,2), (300,300)$ sono due soluzioni per l'equazione.
Ma prima abbiamo considerato soluzione $y=x^2$.
E quindi? Questo vuol dire che tutti i numeri complessi della forma $z=x+ix^2$ con $x\in RR$ sono soluzioni. Non capisco cosa ti turba.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo