Equazione con integrali
Mi potete dire se è possibile (e come) trovare la (le?) funzione che rispetta questa equazione?
Vi sarei grato se non usaste troppi termini tecnici che ho appena iniziato a studiare queste cose
\(\displaystyle f(y)=3 \int^a_0 \left [\int^b_0 f(x) \ dx \right ] \ dy \)
con ovviamente \(\displaystyle x \) che scorre in \(\displaystyle [0,b] \) e \(\displaystyle y \) che scorre in \(\displaystyle [0,a] \)
Vi sarei grato se non usaste troppi termini tecnici che ho appena iniziato a studiare queste cose
\(\displaystyle f(y)=3 \int^a_0 \left [\int^b_0 f(x) \ dx \right ] \ dy \)
con ovviamente \(\displaystyle x \) che scorre in \(\displaystyle [0,b] \) e \(\displaystyle y \) che scorre in \(\displaystyle [0,a] \)
Risposte
Non so se ho preso un granchio, ma se $f(y)$ è il risultato di un integrale definito deve essere una costante.
Integrando ottengo che
se $b=1/(3a)$ allora $f(y)=k$, $\ \AAkinRR$,
se $b!=1/(3a)$ allora il problema è impossibile.
Integrando ottengo che
se $b=1/(3a)$ allora $f(y)=k$, $\ \AAkinRR$,
se $b!=1/(3a)$ allora il problema è impossibile.
Togliamo il 3 che crea solo fastidio e non serve a nulla. Non è quello il punto.
E' colpa mia, non so effettivamente come scriverla formalmente.
\(\displaystyle f(y)= \int^y_0 \left [\int^{dy}_0 f(x) \ dx \right ] \ dy \)
Forse così è scritta bene.
Per esempio, se per assurdo la funzione \(\displaystyle f(x) \) fosse \(\displaystyle f(x)=x \) (non può essere perchè non risolve l'equazione, ma è per capirci) e volessimo calcolare \(\displaystyle f(6) \) (per dire) verrebbe da svolgere:
\(\displaystyle \int^6_0 \left [\int^{dy}_0 x \ dx \right ] \ dy \)
Cioè praticamente, per ogni \(\displaystyle dy \), si fa un integrale che va da 0 a \(\displaystyle dy \), dove i vari \(\displaystyle dy \) saranno tutti i reali tra 0 e 6, cioè tipo \(\displaystyle 0,1 \ \ , \ \ 0,432 \ \ , \ \ 0,9 \ \ , \ \ 1,23 \ \ , \ \ ... \ \ , \ \ 4,89 \) ecc. fino ad arrivare a 6.
Se la funzione non avesse dominio continuo ma fosse, ad esempio, sugli interi, e l'integrale venisse sostituito dal simbolo di sommatoria, l'esempio con 6 darebbe:
0+
0+1
0+1+2
0+1+2+3
0+1+2+3+4
0+1+2+3+4+5
0+1+2+3+4+5+6
Quindi insomma \(\displaystyle f(y) \) fa questa somma sui reali con estremo superiore \(\displaystyle y \)
E' colpa mia, non so effettivamente come scriverla formalmente.
\(\displaystyle f(y)= \int^y_0 \left [\int^{dy}_0 f(x) \ dx \right ] \ dy \)
Forse così è scritta bene.
Per esempio, se per assurdo la funzione \(\displaystyle f(x) \) fosse \(\displaystyle f(x)=x \) (non può essere perchè non risolve l'equazione, ma è per capirci) e volessimo calcolare \(\displaystyle f(6) \) (per dire) verrebbe da svolgere:
\(\displaystyle \int^6_0 \left [\int^{dy}_0 x \ dx \right ] \ dy \)
Cioè praticamente, per ogni \(\displaystyle dy \), si fa un integrale che va da 0 a \(\displaystyle dy \), dove i vari \(\displaystyle dy \) saranno tutti i reali tra 0 e 6, cioè tipo \(\displaystyle 0,1 \ \ , \ \ 0,432 \ \ , \ \ 0,9 \ \ , \ \ 1,23 \ \ , \ \ ... \ \ , \ \ 4,89 \) ecc. fino ad arrivare a 6.
Se la funzione non avesse dominio continuo ma fosse, ad esempio, sugli interi, e l'integrale venisse sostituito dal simbolo di sommatoria, l'esempio con 6 darebbe:
0+
0+1
0+1+2
0+1+2+3
0+1+2+3+4
0+1+2+3+4+5
0+1+2+3+4+5+6
Quindi insomma \(\displaystyle f(y) \) fa questa somma sui reali con estremo superiore \(\displaystyle y \)
Concordo con @melia che quella cosa non è ben definita: non puoi integrare fino a \(dy\) che, se anche avesse senso, sarebbe un numero molto piccolo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo