Equazione con i numeri complessi

[Sandsky90]

Ciao ragazzi, non mi viene la seguente equazione $z^2+2iz-3+2sqrt(3)i=0$

Vi posto i passaggi che ho fatto:

1) Uso la formula per risolvere le eq di secondo grado:

$(-2i+sqrt(-4-4(-3+2sqrt(3)i)))/2$

Dopo varie semplificazioni mi viene: $-i+sqrt(2-2sqrt(3)i)$

2) trasformo quello che c'è sotto radice in forma trigonometrica:

$2-2sqrt(3)i = 4(cos(5pi/3)+i*sin(5pi/3));


3) applico la formula per ricavare le radici n-esime di un nr complesso:

allora l'argomento mi viene 2 mentre gli angoli mi vengono: $5pi/3 e 7pi/3$

quindi sostituendo sotto radice: $-i+sqrt(2(cos(5pi/3)+isin(5pi/3))$
e $-i+sqrt(2(cos(7pi/3)+isin(7pi/3))$



Semplificando tuttavia non mi viene il risultato sul libro che è: $sqrt(3)-2i$ e $-sqrt(3)$;

Qualcuno ha idea di dove sbagli?! Grazie saluti andrea

[franced]

L'equazione da risolvere è

$z^2 + 2iz - 3 + 2sqrt(3) i = 0$ ;

con la "classica" formula si trova

$z_{1;2} = -i \pm sqrt(2-2sqrt(3)i)$ ;

risulta

$2 - 2sqrt(3)i = 4 * (cos(5/3 pi) + i*sin(5/3 pi))$

a questo punto le due radici quadrate $r_1$ e $r_2$ di $2 - 2sqrt(3)i$ sono

$r_1 = \sqrt(4) * (cos((5/3 pi)/2) + i * sin((5/3 pi)/2)) = 2 * (cos (5/6 pi) + i * sin(5/6 pi)) = -sqrt(3) + i $

$r_2 = \sqrt(4) * (cos((5/3 pi + 2 pi)/2) + i * sin((5/3 pi + 2pi)/2)) = 2 * (cos (11/6 pi) + i * sin(11/6 pi)) = sqrt(3) - i$

a questo punto basta sostituire questi valori nelle due equazioni

$z_1 = -i + r_1 = -i + (-sqrt(3) + i) = -sqrt(3)$ ;

$z_2 = -i + r_2 = -i + (sqrt(3) - i) = sqrt(3) - 2 i$ .

In definitiva le due soluzioni sono

$z_1 = -sqrt(3)$

$z_2 = sqrt(3) - 2 i$ .

Osservazione: l'equazione di partenza può essere scritta nel modo seguente

$( z - (-sqrt(3)) ) * ( z - (sqrt(3) - 2 i) ) = 0$ .

[Sandsky90]

Ah grazie mille franced, sbagliavo nel calcolare l'angolo!

[franced]

Prego!